Mostre que a solução do PVI
x^prime prime+x & =f(t) x(0) & =x0 x^prime(0) & =v0
é dada por x(t)=x0 cos (t)+vo sen(t)+integral0^t sen(t-s) f(s) d s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a solução do seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
x'' + x &= f(t) x(0) &= x0 x'(0) &= v0
é dada por
x(t) = x0 cos(t) + v0 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver PVIs, como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação diferencial, ou seja, quando x'' + x = 0 . Assim, temos:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Substituindo r^2 e^rt + e^rt = 0 e^rt(r^2 + 1) = 0 na equação homogênea:
r^2 + 1 = 0 r^2 = -1 r = pm i
Como para todo , temos que:

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular x'' + x = f(t) da equação completa:
xp(t) = integral0^t sin(t - s) f(s) , ds
Para isso, vamos usar o método da variação das constantes. A ideia é procurar uma solução particular na forma:

Passo 6

Com a solução homogênea x(t) = xh(t) + xp(t) x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds e a solução particular , a solução geral da equação completa é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes x(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) + integral0^0 sin(0 - s) f(s) , ds x0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 0 C1 = x0 e x'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + integral0^t cos(t - s) f(s) , ds .
Primeira condição: x'(0) = -C1 sin(0) + C2 cos(0) + integral0^0 cos(0 - s) f(s) , ds v0 = 0 + C2 cdot 1 + 0 C2 = v0 .
Substituindo na solução geral:
Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Agora, substituímos :

Passo 8

Com os valores de x(t) = x0 cos(t) + v0 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds e encontrados, substituímos de volta na solução geral:

Resposta

Assim, mostramos que a solução do PVI dado é:
x(t) = x0 cos(t) + v0 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds

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