Mostre que a solução do PVI
é dada por
x(t)=x0 cos (t)+vo sen(t)+integral0^t sen(t-s) f(s) d s .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a solução do seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
é dada por
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para resolver PVIs, como a solução geral da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação diferencial, ou seja, quando
x'' + x = 0 . Assim, temos:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Substituindo
r^2 e^rt + e^rt = 0 e^rt(r^2 + 1) = 0 na equação homogênea:
Como
para todo
, temos que:
Passo 4
As raízes são complexas conjugadas
xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
x'' + x = f(t) da equação completa:
Para isso, vamos usar o método da variação das constantes. A ideia é procurar uma solução particular na forma:
Passo 6
Com a solução homogênea
x(t) = xh(t) + xp(t) x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds e a solução particular
, a solução geral da equação completa é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
x(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) + integral0^0 sin(0 - s) f(s) , ds x0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 0 C1 = x0 e
x'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + integral0^t cos(t - s) f(s) , ds .
Primeira condição:
x'(0) = -C1 sin(0) + C2 cos(0) + integral0^0 cos(0 - s) f(s) , ds v0 = 0 + C2 cdot 1 + 0 C2 = v0 .
Substituindo
na solução geral:
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, substituímos
:
Passo 8
Com os valores de
x(t) = x0 cos(t) + v0 sin(t) + integral0^t sin(t - s) f(s) , ds e
encontrados, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
Assim, mostramos que a solução do PVI dado é: