1. Mostre que
\sum_{n=1}^{\infty} n z^{n-1}=1+2 z+3 z^{2}+\ldots=\frac{1}{(1-z)^{2}}
sempre que |z|<1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\sum_{n=1}^{\infty}n\,z^{n-1}=1+2z+3z^2+\cdots=\frac{1}{(1-z)^{2}}
sempre que |z|<1. O que vamos usar é a soma da série geométrica e o fato de que dentro do raio de convergência podemos diferenciar uma série de potências termo a termo.

Passo 2

Para começar, lembramos a soma da série geométrica: para |z|<1 vale
\sum_{n=0}^{\infty}z^n = 1+z+z^2+\cdots = \frac{1}{1-z}.

Passo 3

Como essa série converge absolutamente (e até uniformemente em discos |z|\le r<1), podemos derivá-la termo a termo. Derivando ambos os lados em relação a z temos
\frac{d}{dz}\sum_{n=0}^{\infty}z^n =\sum_{n=1}^{\infty}n\,z^{n-1},
enquanto
\frac{d}{dz}\Bigl(\frac{1}{1-z}\Bigr) =\frac{1}{(1-z)^2}.

Passo 4

Igualando as duas expressões da derivada, concluímos que, para |z|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}n\,z^{n-1}=\frac{1}{(1-z)^2}.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}n\,z^{n-1}=\frac{1}{(1-z)^2},\quad |z|<1.

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