Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo esferas. O enunciado nos pede para mostrar que toda reta normal à esfera definida por passa pela origem. Para isso, vamos precisar entender o que é uma reta normal a uma superfície e como determinar essa reta para uma esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta normal a uma superfície em um ponto é aquela que é perpendicular à superfície naquele ponto. No caso de uma esfera centrada na origem, a reta normal em um ponto da esfera passa pelo centro da esfera.
Passo 3
Vamos considerar um ponto qualquer na esfera . A reta normal à esfera nesse ponto será a reta que passa por e é perpendicular à superfície naquele ponto.
Passo 4
Para encontrar a equação da reta normal, precisamos determinar a direção dessa reta. Como a esfera está centrada na origem, o vetor que vai da origem até o ponto será perpendicular à superfície da esfera em . Portanto, esse vetor define a direção da reta normal.
Passo 5
A equação paramétrica da reta que passa pela origem e pelo ponto é dada por:
onde é um parâmetro real.
Passo 6
Essa equação representa uma reta que passa pela origem e pelo ponto , confirmando que a reta normal à esfera neste ponto realmente passa pela origem.
Resposta
Assim, demonstramos que toda reta normal à esfera passa pela origem.