Mostre que para todo a in(G, *) é válido que:
a) a^m * a^n=a^m+n

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um grupo e um elemento pertencente a esse grupo. A tarefa é mostrar que, para quaisquer inteiros e , a multiplicação de por resulta em . Isso está relacionado ao estudo de Teoria dos Grupos, especificamente às propriedades dos elementos dentro de um grupo.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos entender o que significa em um grupo. Em termos simples, representa a multiplicação do elemento por ele mesmo vezes. Por exemplo:

  • E assim por diante. Essa definição é válida quando é um número inteiro positivo. Para números negativos, usamos o inverso do elemento, mas como a questão não especifica, vamos considerar e como positivos.

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade Associativa do grupo. A associatividade nos diz que a forma como agrupamos os elementos não muda o resultado da operação. Ou seja:
(a * b) * c = a * (b * c)
Aplicando isso à multiplicação de a^m * a^n = underbracea * a * dots * am vezes * underbracea * a * dots * an vezes por a^m * a^n = underbracea * a * dots * am+n vezes = a^m+n , temos:
Como a operação é associativa, podemos simplesmente juntar todas as multiplicações:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo a^m * a^n = a^m+n , vale:

Exercícios relacionados