1. Mostre que o trabalho adiabático num sistema fluido também pode ser escrito nas seguintes formas:
\begin{gathered} W_{\text {adiabático }}=\frac{1}{1-\gamma}\left(p_{f} V_{f}-p_{i} V_{i}\right) \\\ W_{\text {adiabático }}=\frac{n R}{1-\gamma}\left(T_{f}-T_{i}\right) \end{gathered}áá

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, para um gás ideal em processo adiabático reversível, que o trabalho
W_{\text{adiabático}}=\int_{V_{i}}^{V_{f}}p\,dVá
pode ser escrito de duas formas:
W_{\text{adiabático}} =\frac{1}{1-\gamma}\bigl(p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}\bigr) \quad\text{e}\quad W_{\text{adiabático}} =\frac{nR}{1-\gamma}\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).áá
Vamos usar a relação adiabática pV^{\gamma}=\text{constante} e depois a equação de estado pV=nRT.

Passo 2

Na termodinâmica, o trabalho realizado por expansão ou compressão de um gás é
W_{\text{adiabático}} =\int_{V_{i}}^{V_{f}}p\,dV.á
Para processo adiabático reversível temos
pV^{\gamma}=C,
onde C é constante e \gamma é a razão de capacidades térmicas C_{p}/C_{V}.

Passo 3

Isolando p da relação adiabática:
p = C\,V^{-\gamma}.
Substituímos em W:
W_{\text{adiabático}} =\int_{V_{i}}^{V_{f}}C\,V^{-\gamma}dV.á

Passo 4

Fazendo a integral:
W_{\text{adiabático}} =C\int_{V_{i}}^{V_{f}}V^{-\gamma}dV =\frac{C}{1-\gamma}\Bigl[V^{\,1-\gamma}\Bigr]_{V_{i}}^{V_{f}} =\frac{C}{1-\gamma}\bigl(V_{f}^{\,1-\gamma}-V_{i}^{\,1-\gamma}\bigr).á
Como C=p_{i}V_{i}^{\gamma}=p_{f}V_{f}^{\gamma}, notamos que
C\,V_{i}^{\,1-\gamma}=p_{i}V_{i} \quad\text{e}\quad C\,V_{f}^{\,1-\gamma}=p_{f}V_{f}.
Logo
W_{\text{adiabático}} =\frac{1}{1-\gamma}\bigl(p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}\bigr).á

Passo 5

Para obter a segunda forma, usamos a equação de estado do gás ideal,
pV=nRT,
de onde
p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i} =nR\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).
Substituindo em W_{\text{adiabático}}á achamos
W_{\text{adiabático}} =\frac{nR}{1-\gamma}\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).á

Resposta

W_{\text{adiabático}} =\frac{1}{1-\gamma}\bigl(p_{f}V_{f}-p_{i}V_{i}\bigr) \quad\text{e}\quad W_{\text{adiabático}} =\frac{nR}{1-\gamma}\bigl(T_{f}-T_{i}\bigr).áá

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