Mostre que se
él.d., então
él.d. para qualquer
do mesmo ambiente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela diz que se o conjunto de vetores
é linearmente dependente, então qualquer conjunto que acrescenta mais um vetor
a esse, ou seja,
, também será linearmente dependente. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dependência linear e como adicionar vetores a um conjunto já dependente afeta essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existir uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Matematicamente, isso significa que existem escalares
, não todos nulos, tais que:
Passo 3
No nosso caso, sabemos que o conjunto
é linearmente dependente. Portanto, existem escalares
e
, não ambos zero, tais que:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que o conjunto
também é linearmente dependente. Para isso, precisamos encontrar escalares
,
e
(não todos zero) que satisfaçam:
Passo 5
Observando que já existe uma relação de dependência entre
e
, podemos escolher
. Assim, a equação se reduz a:
Sabemos que existem soluções não triviais para essa equação, pois
é dependente. Portanto, podemos escolher
e
(onde pelo menos um de
ou
é diferente de zero).
Passo 6
Como encontramos uma combinação linear dos vetores
,
e
que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes (
ou
) é diferente de zero, concluímos que o conjunto
é linearmente dependente.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é linearmente dependente, então
também é linearmente dependente para qualquer vetor
no mesmo ambiente.