Mostre que se u, v él.d., então u, v, w él.d. para qualquer w do mesmo ambiente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Ela diz que se o conjunto de vetores u, v é linearmente dependente, então qualquer conjunto que acrescenta mais um vetor w a esse, ou seja, u, v, w, também será linearmente dependente. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dependência linear e como adicionar vetores a um conjunto já dependente afeta essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente. Um conjunto de vetores u1, u2, dots, un é linearmente dependente se existir uma combinação linear desses vetores que dá o vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes dessa combinação não é zero. Matematicamente, isso significa que existem escalares c1, c2, dots, cn, não todos nulos, tais que:
c1u1 + c2u2 + dots + cnun = 0

Passo 3

No nosso caso, sabemos que o conjunto u, v é linearmente dependente. Portanto, existem escalares a e b, não ambos zero, tais que:
au + bv = 0

Passo 4

Agora, queremos mostrar que o conjunto u, v, w também é linearmente dependente. Para isso, precisamos encontrar escalares a', b' e c' (não todos zero) que satisfaçam:
a'u + b'v + c'w = 0

Passo 5

Observando que já existe uma relação de dependência entre u e v, podemos escolher c' = 0. Assim, a equação se reduz a:
a'u + b'v = 0
Sabemos que existem soluções não triviais para essa equação, pois u, v é dependente. Portanto, podemos escolher a' = a e b' = b (onde pelo menos um de a ou b é diferente de zero).

Passo 6

Como encontramos uma combinação linear dos vetores u, v e w que resulta no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes ( a' ou b') é diferente de zero, concluímos que o conjunto u, v, w é linearmente dependente.

Resposta

Portanto, mostramos que se u, v é linearmente dependente, então u, v, w também é linearmente dependente para qualquer vetor w no mesmo ambiente.

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