Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é:
rho(x, y)=rho0 exp (-kappa raizx^2+y^2), expresse o resultado em coordenadas cilíndricas,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por rho(x, y) = rho0 exp(-kappa raizx^2+y^2). A gente vai resolver isso usando coordenadas cilíndricas. Para isso, precisamos entender o que é a Lei de Gauss e como aplicá-la nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada S é igual à carga total Qenc dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo varepsilon0:
ointS E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico e dA é um elemento de área da superfície S.

Passo 3

Como a densidade de carga rho depende apenas da distância radial raizx^2+y^2, o sistema possui simetria cilíndrica. Assim, vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite essa simetria. Vamos usar um cilindro coaxial com o eixo z, com raio r e altura h.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga total Qenc dentro desse cilindro. A carga é obtida integrando a densidade de carga sobre o volume da superfície gaussiana:
Qenc = integralV rho(r) , dV
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz.

Passo 5

Substituindo a densidade de carga na integral:
Qenc = integral0^h integral0^2pi integral0^r rho0 exp(-kappa r') cdot r' , dr' , dtheta , dz
Aqui, r' é a variável de integração radial.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em r':
integral0^r rho0 exp(-kappa r') cdot r' , dr' = rho0 cdot ( -r'kappa exp(-kappa r') - 1kappa^2 exp(-kappa r') ) g|0^r
Simplificando:
= rho0 ( -rkappa exp(-kappa r) - 1kappa^2 exp(-kappa r) + 1kappa^2 )
= rho0 ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )

Passo 7

Agora, integramos em theta de 0 a 2pi, o que simplesmente multiplica por 2pi:
2pi rho0 ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )
Por último, integramos em z de 0 a h, que multiplica por h:
Qenc = 2pi h rho0 ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )

Passo 8

De volta à Lei de Gauss, temos:
ointS E cdot dA = E(r) cdot (2pi r h) = Qencvarepsilon0
Aqui, a área lateral do cilindro é 2pi r h e assumimos que o campo elétrico é perpendicular e constante na superfície.

Passo 9

Substituindo Qenc:
E(r) cdot (2pi r h) = 2pi h rho0varepsilon0 ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )
Podemos simplificar cancelando 2pi h dos dois lados:
E(r) cdot r = rho0varepsilon0 ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )

Passo 10

Finalmente, isolamos E(r):
E(r) = rho0varepsilon0 r ( 1kappa^2 - exp(-kappa r) ( rkappa + 1kappa^2 ) )
Podemos reorganizar para deixar mais bonito:
E(r) = rho0varepsilon0 kappa^2 r ( 1 - kappa r exp(-kappa r) - exp(-kappa r) )

Resposta

O campo elétrico em coordenadas cilíndricas é dado por:
E(r) = rho0varepsilon0 kappa^2 r ( 1 - (1 + kappa r) exp(-kappa r) )

Exercícios relacionados