Mostre que:
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é: , expresse o resultado em coordenadas cilíndricas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico quando a densidade de carga é dada por . A gente vai resolver isso usando coordenadas cilíndricas. Para isso, precisamos entender o que é a Lei de Gauss e como aplicá-la nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Aqui, é o campo elétrico e é um elemento de área da superfície .
Passo 3
Como a densidade de carga depende apenas da distância radial , o sistema possui simetria cilíndrica. Assim, vamos escolher uma superfície gaussiana que aproveite essa simetria. Vamos usar um cilindro coaxial com o eixo , com raio e altura .
Passo 4
Agora, precisamos calcular a carga total dentro desse cilindro. A carga é obtida integrando a densidade de carga sobre o volume da superfície gaussiana:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é .
Passo 5
Substituindo a densidade de carga na integral:
Aqui, é a variável de integração radial.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em :