Mostre W=(x, y, 0) in R^3 é um subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços vetoriais. Para isso, vamos precisar verificar alguns critérios básicos que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o conjunto contém o vetor zero. O vetor zero em é . No nosso conjunto , podemos escolher e , o que nos dá . Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto u + v = (x1 + x2, y1 + y2, 0 + 0) = (x1 + x2, y1 + y2, 0) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . A soma desses vetores é:
Esse resultado ainda tem a terceira componente igual a zero, então está em .

Passo 4

Por fim, vamos ver se c cdot u = (c cdot x, c cdot y, c cdot 0) = (c x, c y, 0) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado também deve estar em .
Pegando um vetor em e um escalar , temos:
Novamente, a terceira componente é zero, então pertence a .

Resposta

Conseguimos verificar que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, é um subespaço vetorial de .

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