Motor a diesel: No ciclo Diesel um volume de ar ( V_{A} ) é comprimido adiabaticamente até um volume mínimo ( V_{B} ). A partir desse ponto o combustível é misturado com o ar comprimido e a mistura sofre uma expansão isobárica até atingir o volume V_{c}, depois sofre mais uma expansão adiabática e finalmente é resfriado a volume constante. Faça o diagrama p-V para o ciclo Diesel. A partir da análise do ciclo Diesel, deduza uma expressão para a eficiência desse ciclo em termos da razão de compressão máxima r_{B}=V_{A} / V_{B}, de r_{C}=V_{A} / V_{C} e de \gamma=C_{P} / C_{V}. Por simplicidade assuma \gamma_{a r}=\gamma_{\text {mistura }}=\gamma. Considerando agora r_{B}=20, r_{C}=7 e \gamma=1,4, encontre o valor numérico da eficiência teórica do ciclo Diesel.

Passo 1

O enunciado descreve o ciclo Diesel ideal, que consiste de quatro processos consecutivos:
1\to 2: compressão adiabática de V_{A} até V_{B},
2\to 3: adição de calor a pressão constante até V_{C},
3\to 4: expansão adiabática de V_{C} até V_{A},
4\to 1: rejeição de calor a volume constante de V_{A} de volta ao estado inicial.
Precisamos (i) esboçar o diagrama p- V, (ii) deduzir a eficiência térmica \eta em função de
r_{B} = \frac{V_{A}}{V_{B}},\quad r_{C} = \frac{V_{A}}{V_{C}},\quad \gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}},
e (iii) calcular numericamente \eta para r_{B}=20, r_{C}=7 e \gamma=1,4.

Passo 2

O diagrama p- V do ciclo Diesel é o seguinte:
– Traço 1\to 2: curva adiabática de compressão, pressão e temperatura sobem enquanto o volume cai de V_{A} a V_{B}.
– Traço 2\to 3: linha horizontal (isobárica) onde o calor de combustão é admitido e o volume cresce até V_{C}.
– Traço 3\to 4: curva adiabática de expansão até o volume V_{A}.
– Traço 4\to 1: segmento vertical (isochoric) onde o calor é rejeitado e a pressão retorna ao valor inicial.

Passo 3

Para um gás perfeito e processos adiabáticos ou isobáricos valem:
– Entre 1 e 2 (adiabático):
T_{2} = T_{1}\,\biggl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\biggr)^{\gamma-1} = T_{1}\,r_{B}^{\,\gamma-1}.
– Entre 2 e 3 (isobárico):
\frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{V_{3}}{V_{2}} \;\Longrightarrow\; T_{3} = T_{2}\,\frac{V_{C}}{V_{B}} = T_{2}\,\frac{r_{B}}{r_{C}}.
– Entre 3 e 4 (adiabático):
T_{4} = T_{3}\,\biggl(\frac{V_{3}}{V_{4}}\biggr)^{\gamma-1} = T_{3}\,\bigl(\tfrac{1}{r_{C}}\bigr)^{\,\gamma-1} = T_{3}\,r_{C}^{\,1-\gamma}.

Passo 4

O calor recebido no processo 2\to 3 é
Q_{\text{in}} = C_{p}\,(T_{3}-T_{2}) = C_{p}\,T_{2}\Bigl(\frac{r_{B}}{r_{C}} - 1\Bigr),
e o calor rejeitado em 4\to 1 é
Q_{\text{out}} = C_{v}\,(T_{4}-T_{1}) = C_{v}\Bigl(T_{3}\,r_{C}^{1-\gamma}-T_{1}\Bigr).

Passo 5

A eficiência térmica é
\eta = 1 - \frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}} = 1 - \frac{C_{v}\bigl(T_{3}\,r_{C}^{1-\gamma}-T_{1}\bigr)}{C_{p}\,T_{2}\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{C}}-1\bigr)} = 1 - \frac{1}{\gamma\,r_{B}^{\,\gamma-1}}\; \frac{\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{C}}\bigr)^{\!\gamma}-1}{\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{C}}-1\bigr)}.
Definindo a razão de corte \rho = \tfrac{r_{B}}{r_{C}}, obtemos a forma clássica
\eta = 1 - \frac{1}{r_{B}^{\,\gamma-1}}\;\frac{\rho^{\gamma}-1}{\gamma\,(\rho-1)}, \qquad \rho = \frac{r_{B}}{r_{C}}.

Passo 6

Para r_{B}=20, r_{C}=7, \gamma=1,4 temos
\rho = \frac{20}{7}\approx2,857,\quad r_{B}^{\,\gamma-1} = 20^{0,4}\approx3,314, \quad \rho^{\gamma}-1 \approx2,857^{1,4}-1\approx3,348, \quad \rho-1\approx1,857.
Logo
\eta = 1 - \frac{1}{3,314}\;\frac{3,348}{1,4\times1,857} \approx 1 - 0,3886 \approx 0,6114.

Resposta

A eficiência teórica do ciclo Diesel, para r_{B}=20, r_{C}=7 e \gamma=1,4, é aproximadamente 61{,}1\%.

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