Um motor elétrico de 1 cv de potência e 1.720 rpm foi vendido com uma polia de 3 polegadas de diâmetro e será utilizado para acionar um ventilador que deve operar a 3.000 rpm , distante 800 mm do eixo do motor. Por recomendação, nenhuma polia deve ter menos de 2 polegadas de diâmetro. Calcule o diâmetro das polias utilizadas e o comprimento da correia. Calcule também o torque no eixo do ventilador.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (dados do problema):
  • Motor: potência 1\\ \mathrm{cv} e velocidade n_m = 1720\\ \mathrm{rpm}.
  • Ventilador deve girar a n_f = 3000\\ \mathrm{rpm}.
  • Motor foi vendido com uma polia de diâmetro D_{m,\,orig}=3{,}0\\ \mathrm{in}.
  • Eixo do ventilador está a uma distância de C=800\\ \mathrm{mm} do eixo do motor (distância entre centros).
  • Restrição: nenhuma polia deve ter diâmetro menor que 2{,}0\\ \mathrm{in}.
    O enunciado pede:
  1. Calcular os diâmetros das polias a serem utilizadas (motor e ventilador), respeitando a restrição.
  2. Calcular o comprimento da correia necessária.
  3. Calcular o torque no eixo do ventilador.

Passo 2

Relação entre velocidades e diâmetros de polias (princípio do acionamento por correia sem deslizamento):
  • Para polias em acionamento aberto vale a relação
\frac{n_m}{n_f}=\frac{D_f}{D_m},
onde n são rotações por minuto e D são diâmetros (mesma unidade).
Isto vem do fato de que a velocidade periférica da correia é a mesma nas duas polias: n_m\pi D_m = n_f\pi D_f, simplificando chega-se à relação acima.
Vamos calcular a razão das rotações:
\frac{n_f}{n_m}=\frac{3000}{1720}\approx 1{,}744.

Passo 3

Testando a polia que o motor já tem ( D_{m,orig}=3{,}0\\ \mathrm{in}):
Usando a relação,
D_f = D_m\cdot\frac{n_m}{n_f}.
Com D_m=3{,}0\\ \mathrm{in},
D_f = 3{,}0\cdot\frac{1720}{3000}=3{,}0\cdot0{,}57333\ldots\approx 1{,}72\\ \mathrm{in}.
Esse diâmetro D_f\approx 1{,}72\\ \mathrm{in} é menor que o limite de 2{,}0\\ \mathrm{in}, portanto não é permitido. Precisamos ajustar os diâmetros para que ambos fiquem \geq 2{,}0\\ \mathrm{in}.

Passo 4

Escolha prática que respeita a restrição mínima:
  • Podemos forçar a polia do ventilador a ter o diâmetro mínimo permitido D_{f,\min}=2{,}0\\ \mathrm{in} e calcular que polia no motor isso exigiria.
    Usando a relação isolada para D_m:
D_m = D_f\cdot\frac{n_f}{n_m}.
Tomando D_f=2{,}0\\ \mathrm{in},
D_m = 2{,}0\cdot\frac{3000}{1720}=2{,}0\cdot1{,}744186\ldots\approx 3{,}4884\\ \mathrm{in}.
Isso significa que, se quisermos exatamente D_f=2{,}0\\ \mathrm{in}, o motor precisaria de uma polia de aproximadamente 3{,}488\\ \mathrm{in}.
Na prática escolhe-se um diâmetro comercial arredondado para cima (para não reduzir D_f abaixo de 2{,}0\\ \mathrm{in}). Vou adotar a escolha prática e simples:
D_m = 3{,}50\\ \mathrm{in}\quad(\text{escolhido como valor comercial}) .
Com isso a polia do ventilador ficará
D_f = D_m\cdot\frac{n_m}{n_f}=3{,}50\cdot\frac{1720}{3000}=3{,}50\cdot0{,}573333\ldots\approx 2{,}0067\\ \mathrm{in},
ou seja D_f\approx 2{,}0067\\ \mathrm{in}, que respeita a restrição ( \geq 2{,}0\\ \mathrm{in}).

Passo 5

Converter os diâmetros para milímetros (para usar no cálculo do comprimento da correia junto com C):
  • Fator de conversão: 1\\ \mathrm{in}=25{,}4\\ \mathrm{mm}.
D_m = 3{,}50\\ \mathrm{in}=3{,}50\cdot25{,}4=88{,}90\\ \mathrm{mm}.
D_f = 2{,}0067\\ \mathrm{in}=2{,}0067\cdot25{,}4\approx 50{,}969\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Fórmula do comprimento da correia para duas polias em acionamento aberto:
L=\pi\frac{D_m+D_f}{2}+2C+\frac{(D_m-D_f)^2}{4C},
onde L e C na mesma unidade (aqui usaremos \mathrm{mm}), D_m e D_f também em \mathrm{mm}.
Aplicando os valores:
  • D_m+D_f=88{,}90+50{,}969=139{,}869\\ \mathrm{mm}.
  • \pi\frac{D_m+D_f}{2}=\pi\cdot69{,}9345\approx 219{,}66\\ \mathrm{mm}.
  • 2C=2\cdot800=1600\\ \mathrm{mm}.
  • D_m-D_f=88{,}90-50{,}969=37{,}931\\ \mathrm{mm}.
  • \dfrac{(D_m-D_f)^2}{4C}=\dfrac{(37{,}931)^2}{4\cdot800}\approx \dfrac{1438{,}63}{3200}\approx 0{,}450\\ \mathrm{mm}.
Somando:
L\approx 219{,}66+1600+0{,}45 \approx 1820{,}11\\ \mathrm{mm}.
Em polegadas (opcional): L\approx 1820{,}11/25{,}4\approx 71{,}66\\ \mathrm{in}.

Passo 7

Cálculo do torque no eixo do ventilador:
  • Primeiro convertemos a potência: 1\\ \mathrm{cv}=735{,}5\\ \mathrm{W} (valor convencional aproximado).
  • A velocidade angular do ventilador é
\omega_f = 2\pi\frac{n_f}{60}=2\pi\frac{3000}{60}=2\pi\cdot50=100\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 314{,}159\\ \mathrm{rad/s}.
  • Assumimos, como normalmente se faz em cálculo teórico, que não há perdas (potência no eixo do ventilador igual à potência do motor). Então o torque no eixo do ventilador é
T_f=\frac{P}{\omega_f}=\frac{735{,}5}{100\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Numericamente,
T_f\approx \frac{735{,}5}{314{,}159}\approx 2{,}342\\ \mathrm{N\cdot m}.
Se preferir em kgf·m: 1\\ \mathrm{kgf\cdot m}=9{,}80665\\ \mathrm{N\cdot m}, logo T_f\approx 0{,}239\\ \mathrm{kgf\cdot m}.

Passo 8

Resumo das decisões e suposições (importante na prova):
  • Decisão: como D_f calculado com a polia original de 3{,}0\\ \mathrm{in} dava menor que 2{,}0\\ \mathrm{in}, trocamos a polia do motor por uma de 3{,}50\\ \mathrm{in} (valor comercial prático) para manter a polia do ventilador \geq 2{,}0\\ \mathrm{in}.
  • Suposições feitas: acionamento sem perdas (nenhuma perda mecânica nem deslizamento), correia aberta (não cruzada) e centro entre eixos C = 800\\ \mathrm{mm} exacto.

Resposta

D_m = 3{,}50\\ \mathrm{in}\\ (=88{,}90\\ \mathrm{mm})
D_f = 2{,}0067\\ \mathrm{in}\\ (\approx 50{,}97\\ \mathrm{mm})
L \approx 1820{,}1\\ \mathrm{mm}\\ (\approx 71{,}66\\ \mathrm{in})
T_f \approx 2{,}34\\ \mathrm{N\cdot m}

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