A bicicleta do professor de Mecanismos possui apenas uma relação de transmissão fixa, sendo a coroa com 38 dentes e o pinhão (engrenagem da catraca) com 16 dentes. A medida do pneu é aro 26 polegadas, com 2,30 polegadas de altura de perfil. Responda:
Qual a relação de transmissão da bicicleta?
Quais os diâmetros das engrenagens?
Se o professor de Mecanismos pedalar no pacato ritmo de 1 volta por segundo no pedal, qual a velocidade que ele se deslocará?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Qual a relação de transmissão da bicicleta?
  • Quais os diâmetros das duas engrenagens (coroa e pinhão)?
  • Se o professor pedalar a 1 volta por segundo nos pedais, qual será a velocidade linear da bicicleta?
Informações dadas:
  • Número de dentes da coroa: 38.
  • Número de dentes do pinhão (catraca): 16.
  • Medida do pneu: aro 26 polegadas e altura de perfil 2,30 polegadas (ou seja, a altura total acrescentada ao diâmetro do aro é duas vezes a altura do pneu).
  • Taxa de pedalada: 1 volta por segundo no pedal.
  • Vou assumir a cadeia padrão de bicicleta com passo da corrente p=0,5 polegada (padrão ISO para correntes de bicicletas: meio polegada). Se a corrente tiver outro passo, os diâmetros das engrenagens mudam proporcionalmente.

Passo 2

Entendendo a relação de transmissão (explicação didática curta)
  • Quando a coroa (ligada ao pedal) dá uma volta, passam 38 dentes de corrente. Esses 38 dentes fazem o pinhão girar um certo número de voltas: o número de voltas do pinhão por volta da coroa é igual à razão entre os números de dentes.
  • Fórmula simples para a razão de transmissão (razão entre rotações do pinhão e rotações da coroa):
\text{relação}=\frac{N_{\text{coroa}}}{N_{\text{pinhão}}, }çãã
onde N_{\text{coroa}}=38 e N_{\text{pinhão}}=16ã.
Cálculo:
\text{relação}=\frac{38}{16}=\frac{19}{8}=2,375.çã
Interpretação prática: a cada 1 volta do pedal a roda (através do pinhão) gira 2,375 voltas. Em forma de proporção: 19:8 ou 2,375.

Passo 3

Diâmetros das engrenagens — conceito e fórmula
  • O que eu uso: a circunferência do círculo-padrão (pitch circle) da engrenagem é igual ao passo da corrente vezes o número de dentes: \pi D = N\cdot p. Isso dá o diâmetro de passo
D=\frac{N\cdot p}{\pi},
onde D é o diâmetro de passo, N é número de dentes e p é o passo da corrente.
  • Aqui adotei p=0,5 polegada.
Cálculo para a coroa ( N=38):
D_{\text{coroa}}=\frac{38\cdot 0,5}{\pi}=\frac{19}{\pi}\\ \text{polegadas}\approx 6,05\\ \text{polegadas}.
Convertendo para milímetros ( 1\\ \text{polegada}=25,4\\ \text{mm} ):
D_{\text{coroa}}\approx 6,05\times 25,4\\ \text{mm}\approx 153,6\\ \text{mm}.
Cálculo para o pinhão ( N=16):
D_{\text{pinhão}}=\frac{16\cdot 0,5}{\pi}=\frac{8}{\pi}\\ \text{polegadas}\approx 2,55\\ \text{polegadas}.ã
Convertendo para milímetros:
D_{\text{pinhão}}\approx 2,55\times 25,4\\ \text{mm}\approx 64,7\\ \text{mm}.ã
Observação didática: esses diâmetros são os diâmetros de passo (pitch diameters). O diâmetro “externo” pode ser ligeiramente maior por conta da forma dos dentes, mas para cálculo de transmissão e corda de corrente o diâmetro de passo é o que importa.

Passo 4

Diâmetro e circunferência da roda motriz (roda traseira)
  • O enunciado deu o aro 26 polegadas e o pneu com altura 2,30 polegadas. O diâmetro total da roda com pneu é:
D_{\text{roda}}=26 + 2\cdot 2,30 = 30,6\\ \text{polegadas}.
  • Converter para metros usando 1\\ \text{polegada}=0,0254\\ \text{m}:
D_{\text{roda}}=30,6\times 0,0254\\ \text{m}\approx 0,777\\ \text{m}.
  • Circunferência da roda:
C_{\text{roda}}=\pi D_{\text{roda}}\approx \pi\times 0,777\\ \text{m}\approx 2,441\\ \text{m}.

Passo 5

Velocidade linear para 1 volta por segundo no pedal
  • Rotações da roda por segundo:
f_{\text{roda}}=\text{relação}\times f_{\text{pedal}}=2,375\times 1\\ \text{rev/s}=2,375\\ \text{rev/s}.çã
  • Velocidade linear v é número de voltas por segundo multiplicado pela circunferência:
v=f_{\text{roda}}\cdot C_{\text{roda}}=2,375\times 2,441\\ \text{m/s}\approx 5,797\\ \text{m/s}.
  • Converter para km/h (multiplica por 3,6):
v\approx 5,797\times 3,6\\ \text{km/h}\approx 20,87\\ \text{km/h}.
Interpretação prática: pedalando a uma volta por segundo (ou seja, 60 rpm), o professor andaria cerca de 20,9\\ \text{km/h} com essa relação fixa.

Resposta

Relação de transmissão: \displaystyle \frac{38}{16}=\frac{19}{8}=2,375 (ou 19:8).
Diâmetros das engrenagens: coroa D_{\text{coroa}}\approx 6,05\\ \text{polegadas}\\ (153,6\\ \text{mm}); pinhão D_{\text{pinhão}}\approx 2,55\\ \text{polegadas}\\ (64,7\\ \text{mm})ã.
Velocidade para 1 volta/s nos pedais: v\approx 5,80\\ \text{m/s}\approx 20,9\\ \text{km/h}.

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