Um município está avaliando a viabilidade econômica da implantação de uma estação de transbordo para o transporte de resíduos sólidos urbanos até o aterro sanitário.
O custo do transporte direto sem estação de transbordo pode ser representado pela função:
\mathrm{CTD}=0,45 \mathrm{x}
Já o custo do transporte com utilização da estação de transbordo é dado por:
\mathrm{CTT}=10+0,15 \mathrm{x}
Onde:
CTD e CTT = custo em dólares por tonelada;
\mathrm{x}= distância até o destino final (em km);
O valor fixo de 600 reais/ton refere-se ao custo de implantação, operação e manutenção da estação de transbordo.
a) Determine o ponto de virada (distância em km) a partir do qual a utilização da estação de transbordo passa a ser economicamente mais vantajosa.
b) Interprete o resultado obtido no contexto da gestão de resíduos sólidos.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
  • Função do custo do transporte direto sem estação de transbordo:
\mathrm{CTD}=0,45\,x
  • Função do custo do transporte com utilização da estação de transbordo (essa é a parte variável, aparentemente):
\mathrm{CTT}=10+0,15\,x
  • Há um valor fixo adicional de 600 (o enunciado diz “600 reais/ton”, vou tratar esse valor como um custo por tonelada já amortizado, ou seja, um custo fixo por tonelada associado à implantação/ operação/ manutenção da estação).
  • As variáveis/unidades: \mathrm{CTD} e \mathrm{CTT} são custos por tonelada (mesma unidade monetária), e x é a distância até o destino final (em km).
O enunciado pede:
(a) Determinar o ponto de virada (distância em km) a partir do qual a utilização da estação de transbordo passa a ser economicamente mais vantajosa.
(b) Interpretar esse resultado no contexto da gestão de resíduos sólidos.

Passo 2

Entendendo e modelando corretamente o problema (explicação didática do que vamos comparar).
  • Ideia geral (o que é “ponto de virada”): queremos o valor de x em que o custo por tonelada de transportar sem estação ( \mathrm{CTD}) é igual ao custo por tonelada de transportar usando a estação. Para distâncias menores que esse ponto, a alternativa com menor custo é a recomendada; para distâncias maiores, a outra alternativa é a recomendada.
  • Como incorporar o custo fixo de 600: o enunciado diz que esse valor é o “custo de implantação, operação e manutenção da estação de transbordo” e o descreve por tonelada. A interpretação mais direta e prática é somar esse valor ao custo por tonelada da operação com a estação, porque assim obtemos o custo total por tonelada quando a estação é usada. Em outras palavras, o custo total por tonelada com estação será a soma do custo variável indicado por \mathrm{CTT} e do custo fixo amortizado por tonelada 600.
  • Portanto definimos o custo total por tonelada usando a estação como:
\mathrm{CTT_{tot}} = 600 + \mathrm{CTT} = 600 + 10 + 0,15\,x.
(Obs.: estou assumindo que os 600 estão na mesma unidade monetária que os outros custos — se não estiverem, seria necessário converter moedas antes de comparar. Vou seguir a suposição de unidade única, que é a interpretação padrão quando o enunciado mistura valores sem pedir conversão.)

Passo 3

Montando a equação de ponto de virada (condição de igualdade) e explicando a lógica matemática.
  • O ponto de virada é o valor de x que satisfaz:
\mathrm{CTD}=\mathrm{CTT_{tot}}.
  • Substituindo as expressões dadas:
0,45\,x = 600 + 10 + 0,15\,x.
  • Agora vamos isolar x. Primeiro simplificamos a soma à direita:
0,45\,x = 610 + 0,15\,x.
  • Subtraindo 0,15\,x dos dois lados (para deixar os termos com x do mesmo lado):
0,45\,x - 0,15\,x = 610.
  • Calculando a diferença dos coeficientes:
0,30\,x = 610.
  • Por fim, dividimos ambos os lados por 0,30 para obter x:
x = \frac{610}{0,30}.
  • Fazendo a divisão (explicando passo a passo como fazer sem calculadora: dividir por 0{,}30 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{100}{30}=\dfrac{10}{3}; então 610\cdot\dfrac{10}{3}=6100/3):
x = \frac{6100}{3} \approx 2033{,}33.

Passo 4

Resultado numérico e verificação rápida (checagem de sentido).
  • Resultado: o ponto de virada é aproximadamente \;2033{,}33\\ \text{km}.
  • Verificação rápida: escolha uma distância maior, por exemplo x=3000\\ \text{km}.
    • Sem estação: \mathrm{CTD}=0,45\cdot 3000 = 1350.
    • Com estação (total): \mathrm{CTT_{tot}} = 600 + 10 + 0,15\cdot 3000 = 610 + 450 = 1060.
    • De fato, para 3000\\ \text{km} o custo com estação ( 1060) é menor que o custo direto ( 1350), então para distâncias acima de \approx 2033{,}33\\ \text{km} a estação se torna vantajosa. Para distâncias menores, o transporte direto é mais barato.

Passo 5

Interpretação gerencial e implicações práticas (o que esse número significa na prática, explicado de forma didática e amigável).
  • O valor \approx 2033{,}33\\ \text{km} é muito grande para deslocamentos típicos entre centros urbanos e aterros sanitários dentro de um município ou mesmo entre municípios vizinhos — normalmente as distâncias são bem menores (geralmente dezenas ou poucas centenas de km). Isso indica que, com o custo fixo por tonelada de 600 (alto) e as tarifas variáveis dadas, a implantação de uma estação de transbordo só se paga (apresenta vantagem econômica estrita no critério apenas do custo por tonelada de transporte) quando o deslocamento até o aterro é extremamente longo.
  • Conclusões práticas que um gestor pode tirar:
    • Se as distâncias reais que o município enfrenta forem muito menores que \;2033\\ \text{km}, não vale a pena implantar a estação apenas com base na economia de transporte; o custo fixo é muito elevado.
    • Antes de decidir, deve-se revisar a estimativa dos 600: talvez esse valor possa ser reduzido com melhores projetos, financiamento, amortização em maior fluxo de toneladas, ou inclusão de outros benefícios (redução de emissões, menor desgaste de vias, menor número de viagens, ganhos operacionais). Fazer uma análise de sensibilidade (variando o valor de 600 e a quantidade de toneladas/ano) é recomendável.
    • Também vale considerar benefícios não-monetários e efeitos de escala (se o município desloca muitas toneladas por ano, o custo fixo por tonelada pode cair), ou agrupar resíduos de várias cidades para reduzir o custo por tonelada de implantação.

Resposta

(a) \;x\approx 2033{,}33\\ \text{km}
(b) A partir de \approx 2033{,}33\\ \text{km} o uso da estação de transbordo passa a ser economicamente vantajoso pelo critério de custo por tonelada; contudo esse valor é irrealisticamente alto para distâncias municipais, indicando que, com um custo fixo de 600 por tonelada, a estação não se justifica economicamente para as distâncias típicas — recomenda-se reavaliar o custo fixo, o fluxo de toneladas e benefícios indiretos antes de implantar.

Exercícios relacionados