a.
identical spin
particles are subjected to a one-dimensional simple harmonic oscillator potential. Ignore any mutual interactions between the particles. What is the ground-state energy? What is the Fermi energy?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos $ N $ partículas idênticas com spin $ \frac{1}{2} $ que estão em um potencial oscilador harmônico unidimensional. Queremos descobrir duas coisas:
- A energia do estado fundamental do sistema.
- A energia de Fermi.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Oscilador Harmônico Quântico: Modelo que descreve partículas sujeitas a um potencial elástico.
- Princípio de Exclusão de Pauli: Como partículas com spin $ \frac{1}{2} $ (férmions) não podem ocupar o mesmo estado quântico.
- Energia de Fermi: A energia mais alta ocupada por uma partícula no zero absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são os níveis de energia para um oscilador harmônico quântico unidimensional. A energia dos estados é dada por:
onde:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ \omega $ é a frequência angular do oscilador,
- $ n = 0, 1, 2, \dots $ são os números quânticos dos níveis de energia.
Passo 3
Como temos $ N $ partículas idênticas com spin $ \frac{1}{2} $, cada nível de energia pode acomodar no máximo 2 partículas (uma com spin para cima e outra com spin para baixo), devido ao Princípio de Exclusão de Pauli. Isso significa que para cada $ n $, temos 2 estados possíveis.
Passo 4
Para encontrar a energia do estado fundamental do sistema, precisamos preencher os níveis de energia começando do menor, até acomodar todas as $ N $ partículas. Vamos chamar de $ n_{max} $ o maior número quântico ocupado.
Como cada nível pode ter 2 partículas, o número total de partículas é:
Resolvendo para $ n_{max} $:
Assumindo que $ N $ é par para simplificar.
Passo 5
A energia total do estado fundamental é a soma das energias de todas as partículas nos níveis ocupados:
Simplificando:
Passo 6
Calculando as somas:
Substituindo de volta:
Passo 7
Substituindo $ n_{max} = \frac{N}{2} - 1 $:
Essa é a energia do estado fundamental.
Passo 8
Agora, para encontrar a energia de Fermi, que é a energia da partícula mais energética no estado fundamental, olhamos para o nível de energia máximo ocupado:
Resposta
A energia do estado fundamental é $ E_{total} = \frac{N^2}{4} \hbar \omega $ e a energia de Fermi é $ E_{Fermi} = \frac{(N - 1)}{2} \hbar \omega $.