A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do
e de
com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se um determinado conjunto é ou não um subespaço vetorial de
e de
, que são os espaços vetoriais das matrizes
. O conjunto que a gente vai analisar é:
Para resolver isso, precisamos lembrar quais são os requisitos para um subconjunto ser subespaço vetorial. A gente vai precisar verificar três coisas:
- Contém o vetor zero: O vetor
está no conjunto? - Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também está?
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também está?
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir na condição do conjunto:
Claramente,
. Portanto, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Como o vetor zero não está em
, já podemos concluir que
não é um subespaço vetorial de
. Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 4
Mesmo que a gente já tenha a resposta, vamos verificar a outra condição: se
é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, por exemplo,
e
. Ambos satisfazem
porque:
Agora, somando esses vetores:
Vamos verificar se
está em
:
Até aqui, nesse caso específico, a soma ficou dentro do conjunto. Mas isso não garante que seja sempre assim.
Passo 5
Vamos testar outro exemplo para ter certeza. Pegue os vetores
e
novamente. Ambos estão em
porque
.
Somando:
Verificando:
Parece que está funcionando, mas isso ainda não prova que sempre funciona para qualquer par de vetores em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar a condição de fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor em
, por exemplo,
. Se multiplicarmos por um escalar, digamos
, teremos:
Vamos ver se
está em
:
Então, multiplicar um vetor de
por um escalar pode resultar em um vetor que não está em
.
Passo 7
Resumindo tudo isso:
- O vetor zero não está em
. - Apesar de alguns vetores somados permanecerem em
, nem sempre isso acontece para todos os vetores. - Multiplicar vetores de
por escalares pode levar a vetores que não estão em $V.
Portanto,
não é um subespaço vetorial de
.