A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do
e de
com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Passo 1
Vamos analisar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
e de
. Para isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado como tal. Vamos precisar verificar três condições fundamentais:
- O conjunto não está vazio.
- É fechado sob adição vetorial.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
não está vazio. Observamos que para
e
, a matriz fica:
Este é um elemento de
, então o conjunto não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição vetorial. Vamos pegar duas matrizes quaisquer de
:
Somando
e
:
Para que
esteja em
, a entrada (1,2) deve ser igual a 1. No entanto, temos 2 nessa posição, o que não satisfaz a condição de pertencimento a
. Portanto,
não é fechado sob adição vetorial.
Passo 4
Como já falamos que
não é fechado sob adição vetorial, não precisamos verificar a condição de multiplicação por escalar. Se uma das condições não é satisfeita, o conjunto não é um subespaço vetorial.
Passo 5
Além disso, para verificar se
é um subespaço de
, precisamos lembrar que
é um conjunto de matrizes
, não vetores em
. Portanto,
não pode ser um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
nem de
, pois não satisfaz as condições de fechamento sob adição vetorial.