É necessário verificar se o grafo é conexo antes de executar o algoritmo de Prim?

Passo 1

A questão pergunta se é preciso checar a conectividade do grafo antes de rodar o algoritmo de Prim. O assunto é árvores geradoras mínimas, que pressupõem um grafo conectado para existir uma única árvore que cubra todos os vértices.

Passo 2

O algoritmo de Prim, na prática, parte de um vértice inicial e expande a árvore escolhendo arestas de menor peso que conectem novos vértices. Se o grafo for desconexo, Prim apenas alcança a componente que contém o vértice inicial, resultando numa floresta parcial, não numa árvore que inclua todos os vértices.

Passo 3

Portanto, se o objetivo for obter uma árvore geradora mínima única que cubra todo o grafo, é necessário garantir que ele seja conectado antes de aplicar Prim. Se, por outro lado, aceitarmos uma floresta geradora mínima (uma árvore por componente), não é obrigatório fazer essa verificação global e podemos simplesmente rodar Prim em cada componente separadamente.

Resposta

Para obter uma árvore geradora mínima que cubra todos os vértices, sim, o grafo deve ser conectado — caso contrário, Prim só gera uma floresta. Se uma floresta mínima for aceitável, não é preciso verificar conexão global; basta aplicar Prim em cada componente.

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