Neste caso a força
que age sobre a partícula, quando esta localizada no ponto
, é dada por
, determine essa força em qualquer ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma força
que age sobre uma partícula em qualquer ponto
no plano
. A força é definida como
, onde
é uma função potencial. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a força a partir do potencial usando o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Em cálculo vetorial, o gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
A força
está relacionada ao gradiente do potencial
pela relação:
Isso significa que a força é o vetor negativo do gradiente do potencial. O sinal negativo indica que a força atua na direção oposta ao aumento do potencial, ou seja, ela tende a mover a partícula na direção onde o potencial diminui.
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa relação para determinar a força em qualquer ponto
. Substituindo o gradiente na expressão da força, temos:
Isso quer dizer que a força em um ponto específico é calculada pegando as derivadas parciais do potencial naquele ponto e multiplicando por
.
Resposta
A força em qualquer ponto
é dada por: