Níveis de dificuldade:
P2.3 ・Duas cargas pontuais. Duas cargas puntiformes estão localizadas sobre o eixo x. A primeira possui uma carga +Q em
x=-a. A segunda possui uma carga desconhecida localizada em x=+3 a. O campo elétrico na origem possui módulo E=2 k Q / a^2. Quais são os dois possíveis valores da carga desconhecida?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas cargas pontuais no eixo . A primeira é localizada em e a segunda é uma carga desconhecida em . Sabemos que o campo elétrico na origem tem módulo . Nosso objetivo é descobrir os dois possíveis valores dessa carga desconhecida. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve como as cargas criam campos elétricos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico criado por uma carga pontual E = kQr^2 a uma distância é dado por:
onde é a constante de Coulomb ( ).

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico na origem devido a cada uma das cargas:
  1. Campo da carga E1 = kQa^2 em E2 = kq(3a)^2 = kq9a^2 :
    • A distância da carga até a origem é .
    • O campo elétrico gerado por essa carga na origem é:
    • Como a carga é positiva, o campo aponta na direção positiva do eixo (para a direita).
  2. Campo da carga desconhecida em :
    • A distância da carga até a origem �� .
    • O campo elétrico gerado por essa carga na origem é:
    • A direção desse campo depende do sinal de :
      • Se for positivo, o campo aponta na direção negativa do eixo (para a esquerda).
      • Se for negativo, o campo aponta na direção positiva do eixo (para a direita).

Passo 4

Sabemos que o campo elétrico resultante na origem é E1 - E2 = kQa^2 - kq9a^2 = 2kQa^2 para a direita. Vamos montar a equação considerando as duas possibilidades para Q - q9 = 2Q implies -q9 = Q implies q = -9Q :
  1. Se E1 + |E2| = kQa^2 + |kq|9a^2 = 2kQa^2 for positivo:
    • O campo total é a soma do campo da carga Q + -q9 = 2Q implies -q9 = Q implies q = -9Q menos o campo da carga :
    • Simplificando:
    • Mas isso implica que é negativo, o que contraria a suposição inicial de positivo.
  2. Se for negativo:
    • O campo total é a soma dos campos das duas cargas:
    • Como é negativo, :

Passo 5

No entanto, percebemos que apenas |Q - q9| = 2Q satisfaz a equação sem contradições. Mas vamos conferir outra possibilidade considerando o módulo da equação:
Isso nos dá duas equações:
  1. que resulta em .
  2. que resulta em .
Portanto, as duas soluções possíveis são e .

Resposta

Os dois possíveis valores para a carga desconhecida são e .

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