O nível de anti-ácido no estômago de uma pessoa t minutos após a ingestão de um comprimido anti-ácido é dado por f(t)=\frac{6 t}{t^{2}+2 t+1}.
Em que tempo t ocorre o nível máximo do anti-ácido?
Obtemos os pontos críticos da função:
\begin{gathered} \frac{d f(x)}{d t}=\frac{6\left(t^{2}+2 t+1\right)-6 t(2 t+2)}{\left(t^{2}+2 t+1\right)^{2}}=0 \\\\ -t^{2}+1=0 \\\ t^{2}=1 \Rightarrow t=1 \text { e } t=-1 \end{gathered}
Como t \geq 0, pois t representa o tempo em minutos, interessa-nos apenas t=1 que é ponto de máximo uma vez que f^{\prime \prime}(1)<0. Assim, f(1)=1.5 e o nível de anti-ácido máximo ocorre após 1 minuto.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de nível de anti-ácido no estômago
f(t)=\frac{6t}{t^{2}+2t+1}
e pede o instante t em minutos em que esse nível atinge o valor máximo. O conteúdo aqui é cálculo de extremos de função real usando derivada e teste da segunda derivada.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para obter a derivada
f'(t) =\frac{6\,(t^{2}+2t+1)-6t\,(2t+2)}{(t^{2}+2t+1)^{2}} =\frac{6t^{2}+12t+6-12t^{2}-12t}{(t^{2}+2t+1)^{2}} =\frac{-6t^{2}+6}{(t^{2}+2t+1)^{2}}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(t)=0. Como o denominador nunca é zero, basta resolver o numerador:
-6t^{2}+6=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad t=1\text{ ou }t=-1.

Passo 4

Como t representa tempo em minutos, consideramos apenas t\ge0. Logo, o único candidato é t=1. Para confirmar que é máximo, usamos o teste da segunda derivada:
f''(t)=\text{derivada de }\frac{-6t^{2}+6}{(t^{2}+2t+1)^{2}} \quad\Longrightarrow\quad f''(1)<0,
o que garante que em t=1 há um máximo local.

Resposta

O nível de anti-ácido é máximo após 1 minuto.

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