Um nivelamento foi realizado da estação A para B de altitude 409,56 \mathrm{~m}, obtendo-se os seguintes dados:
a) ângulo vertical =+03^{\circ} 51^{\prime} 13^{\prime \prime}
b) distância inclinada =3524,68 \mathrm{~m}
c) altura do instrumento no ponto \mathrm{A}=1,440 \mathrm{~m}
d) altura do centro do refletor (prisma) no ponto \mathrm{B}=2,510 \mathrm{~m}
e) raio terrestre =6366,20 \mathrm{~km}
  • Calcular a altitude do ponto A considerando o erro de curvatura e refração.

Passo 1

O enunciado dá a altitude do ponto A, H_A = 409{,}56\text{ m}, e o instrumento instalado em A com altura h_i = 1{,}440\text{ m}. No ponto B há um prisma com altura h_p = 2{,}510\text{ m}. Mediu-se o ângulo vertical \alpha = +03^\circ51'13'' e a distância inclinada s = 3524{,}68\text{ m}. Também é dado o raio terrestre R = 6366{,}20\text{ km} = 6\,366\,200\text{ m}.
Conteúdo:
– Cálculo da diferença de nível bruta \Delta h_{\rm obs} = s\,\sin\alpha.
– Correção de curvatura e refração \Delta_k = (1-k)\,\dfrac{s^2}{2R} com k=1/7.
– Altitude de B:
H_B = H_A + h_i + \bigl(\Delta h_{\rm obs} - \Delta_k\bigr) - h_p.

Passo 2

Calcular \Delta h_{\rm obs} = s\sin\alpha. Primeiro convertemos \alpha em graus decimais:
\alpha = 3^\circ + \frac{51}{60}^\circ + \frac{13}{3600}^\circ = 3{,}853611^\circ.
Em radianos, \alpha_{\rm rad} = 3{,}853611\pi/180 \approx 0{,}067265.
Então
\Delta h_{\rm obs} = 3524{,}68 \,\sin(0{,}067265) \approx 3524{,}68 \times 0{,}0671993 \approx 236{,}86\text{ m}.

Passo 3

Calcular a correção de curvatura e refração. Adota-se coeficiente de refração k=1/7, logo
\Delta_k = (1-k)\,\frac{s^2}{2R} = \frac{6}{7}\,\frac{(3524{,}68)^2}{2\times6\,366\,200}.
Compute-se (3524{,}68)^2 \approx 12\,423\,370. Então
\Delta_k \approx \frac{6}{7}\,\frac{12\,423\,370}{12\,732\,400} \approx 0{,}8365\text{ m}.

Passo 4

Obter a diferença de nível corrigida:
\Delta h_{\rm true} = \Delta h_{\rm obs} - \Delta_k = 236{,}86 - 0{,}8365 \approx 236{,}02\text{ m}.

Passo 5

Calcular a altitude de B usando
H_B = H_A + h_i + \Delta h_{\rm true} - h_p.
Substituindo:
H_B = 409{,}56 + 1{,}440 + 236{,}02 - 2{,}510 = 644{,}51\text{ m (aprox.)}.

Resposta

A altitude do ponto B, já considerando o erro de curvatura e refração, é aproximadamente 644{,}51\text{ m}.

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