Notação: Dado qualquer vetor \vec{u}=(a, b), vimos em aula que sempre obtemos um vetor perpendicular da forma ( -b, a ), o qual denotaremos por \vec{u}^{\perp}. Note que \|\vec{u}\|=\left\|\vec{u}^{\perp}\right\|. Mostre que \left(\vec{u}^{\perp}\right)^{\perp}=-\vec{u}.

Passo 1

O enunciado nos dá um vetor em \mathbb{R}^2, \vec{u}=(a,b), e define seu “perpendicular” por
\vec{u}^{\perp}=(-b,a).
Pede-se para mostrar que, ao aplicar esse operador duas vezes, obtemos \bigl(\vec{u}^{\perp}\bigr)^{\perp}=-\vec{u}.
O conteúdo aqui é manipulação de coordenadas de vetores em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Aplicamos a mesma definição ao vetor \vec{u}^{\perp}=(-b,a). Logo,
\bigl(\vec{u}^{\perp}\bigr)^{\perp} =\bigl(-\,(\!a\!)\,,\;-(\!-b\!)\bigr) =(-a,\,-b).
Note que (-a,-b) é exatamente -(a,b), isto é, -\vec{u}.

Resposta

\bigl(\vec{u}^{\perp}\bigr)^{\perp}=-\vec{u}.

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