(0.5) O número 2025 tem uma particularidade interessante: 20+25=45 e 45^{2}= 2025. Quais são os números entre 1000 e 9999 que satisfazem essa propriedade?

Passo 1

O enunciado dá o exemplo \,2025 e mostra a propriedade: separar o número em dois blocos de duas casas ( 20 e 25), somá‑los (20+25=45) e observar que o quadrado dessa soma é o próprio número (45^{2}=2025). A pergunta pede: quais números entre \,1000 e \,9999 satisfazem essa propriedade?
Dados importantes que extraí do enunciado:
  • Estamos procurando números de quatro dígitos, ou seja números N com \,1000\le N\le 9999.
  • Podemos dividir qualquer desses N em dois blocos de duas casas: o bloco das duas primeiras casas que chamo de A e o bloco das duas últimas casas que chamo de B. Assim A é um inteiro com 10\le A\le 99 e B é um inteiro com 0\le B\le 99 (incluindo possibilidade de B ter zero à esquerda).
  • A condição é que a soma dos blocos ao quadrado deve dar o número: (A+B)^{2}=N.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Escrevo o número N em função de A e B. Como A é o bloco das centenas e milhares e B o bloco das dezenas e unidades,
N=100A+B.
A condição do enunciado é
(A+B)^{2}=100A+B.
Para simplificar os símbolos, defino S=A+B (a soma dos dois blocos). Substituindo B=S-A na igualdade acima obtenho:
S^{2}=100A+(S-A)=99A+S.
Isolando A,
A=\frac{S(S-1)}{99}.
Portanto, para que exista solução inteira válida, A dado por essa fórmula precisa ser inteiro e satisfazer 10\le A\le 99. Além disso, como A e B são não negativos e A\ge 10, o intervalo possível para S é
10\le S\le 198,
porque S=A+B e o máximo é 99+99=198.

Passo 3

A condição de inteireza de A é que 99 divida S(S-1). Como 99=9\cdot 11 e \gcd(9,11)=1, para que 99\mid S(S-1) precisamos ter simultaneamente 9\mid S(S-1) e 11\mid S(S-1). Agora, S e S-1 são consecutivos, portanto são coprimos; isso implica que a divisibilidade por um fator primo deve vir inteiramente de um dos dois termos. Conclusão prática: para cada um dos módulos 9 e 11 o número S tem de ser congruente a 0 ou a 1 (porque se S ou S-1 é múltiplo de 9, então S\equiv0 ou S\equiv1\pmod{9}; mesma ideia para 11). Assim as opções possíveis são as quatro combinações:
\begin{array}{l} \text{(i) } S\equiv 0\pmod{9},\; S\equiv 0\pmod{11},\\[2pt] \text{(ii) } S\equiv 0\pmod{9},\; S\equiv 1\pmod{11},\\[2pt] \text{(iii) } S\equiv 1\pmod{9},\; S\equiv 0\pmod{11},\\[2pt] \text{(iv) } S\equiv 1\pmod{9},\; S\equiv 1\pmod{11}. \end{array}
Vou examinar cada caso e achar os valores de S no intervalo 10\le S\le 198 que satisfazem as congruências, e depois verificar se produzem A entre 10 e 99.]

Passo 4

Caso (i): S\equiv 0\pmod{9} e S\equiv 0\pmod{11}. Pelas congruências simultâneas, isso equivale a
S\equiv 0\pmod{99}.
No intervalo dado, os candidatos são S=99 e S=198. Calculo A pela fórmula
A=\frac{S(S-1)}{99}.
Para S=99:
A=\frac{99\cdot 98}{99}=98,
que está no intervalo permitido. Então B=S-A=99-98=1 e o número é 100\cdot 98+1=9801. Verificação rápida: 98+01=99 e 99^{2}=9801. Para S=198:
A=\frac{198\cdot 197}{99}=2\cdot 197=394,
que é maior que 99, logo inválido.

Passo 5

Caso (ii): S\equiv 0\pmod{9} e S\equiv 1\pmod{11}. Escrevo S=9k e imponho 9k\equiv 1\pmod{11}. Para resolver isso, uso o inverso de 9 módulo 11: 9\cdot 5=45\equiv 1\pmod{11}, portanto k\equiv 5\pmod{11}. Assim
k=11m+5\quad\Rightarrow\quad S=9k=9(11m+5)=99m+45,
ou seja S\equiv 45\pmod{99}. No intervalo 10\le S\le 198 os candidatos são S=45 e S=144.
  • Para S=45:
A=\frac{45\cdot 44}{99}=\frac{1980}{99}=20,
então B=45-20=25 e o número é 100\cdot 20+25=2025. Verificação: 20+25=45 e 45^{2}=2025.
  • Para S=144:
A=\frac{144\cdot 143}{99}=\frac{20592}{99}=208,
que excede 99, portanto inválido.

Passo 6

Caso (iii): S\equiv 1\pmod{9} e S\equiv 0\pmod{11}. Escrevo S=11k e imponho 11k\equiv 1\pmod{9}. Como 11\equiv 2\pmod{9}, isso dá 2k\equiv 1\pmod{9}, ou k\equiv 5\pmod{9}. Logo
k=9m+5\quad\Rightarrow\quad S=11k=11(9m+5)=99m+55,
ou seja S\equiv 55\pmod{99}. No intervalo os candidatos são S=55 e S=154.
  • Para S=55:
A=\frac{55\cdot 54}{99}=\frac{2970}{99}=30,
então B=55-30=25 e o número é 100\cdot 30+25=3025. Verificação: 30+25=55 e 55^{2}=3025.
  • Para S=154:
A=\frac{154\cdot 153}{99}=\frac{23562}{99}=238,
que é maior que 99, logo inválido.

Passo 7

Caso (iv): S\equiv 1\pmod{9} e S\equiv 1\pmod{11}. Isso equivale a
S\equiv 1\pmod{99}.
No intervalo 10\le S\le 198 os candidatos seriam S=100 e possivelmente S=199 (fora do intervalo), então só S=100 interessa. Calculo:
A=\frac{100\cdot 99}{99}=100,
mas isso viola A\le 99. Portanto não gera solução válida.

Passo 8

Concluímos, após testar todas as possibilidades, que os únicos números de quatro dígitos que satisfazem a propriedade são os encontrados nos passos válidos: 2025, 3025 e 9801. Verificações rápidas (já feitas) confirmam que para cada um a soma dos dois blocos ao quadrado retorna o próprio número.

Resposta

2025
3025
9801

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