(0.5) O número 2025 tem uma particularidade interessante:
e
2025. Quais são os números entre 1000 e 9999 que satisfazem essa propriedade?
Passo 1
O enunciado dá o exemplo
e mostra a propriedade: separar o número em dois blocos de duas casas (
e
), somá‑los
e observar que o quadrado dessa soma é o próprio número
. A pergunta pede: quais números entre
e
satisfazem essa propriedade?
Dados importantes que extraí do enunciado:
Dados importantes que extraí do enunciado:
- Estamos procurando números de quatro dígitos, ou seja números
com . - Podemos dividir qualquer desses
em dois blocos de duas casas: o bloco das duas primeiras casas que chamo de e o bloco das duas últimas casas que chamo de . Assim é um inteiro com e é um inteiro com (incluindo possibilidade de ter zero à esquerda). - A condição é que a soma dos blocos ao quadrado deve dar o número:
.
A resolução começa agora.
Passo 2
Escrevo o número
em função de
e
. Como
é o bloco das centenas e milhares e
o bloco das dezenas e unidades,
A condição do enunciado é
Para simplificar os símbolos, defino
(a soma dos dois blocos). Substituindo
na igualdade acima obtenho:
Isolando
,
Portanto, para que exista solução inteira válida,
dado por essa fórmula precisa ser inteiro e satisfazer
. Além disso, como
e
são não negativos e
, o intervalo possível para
é
porque
e o máximo é
.
Passo 3
A condição de inteireza de
é que
divida
. Como
e
, para que
precisamos ter simultaneamente
e
. Agora,
e
são consecutivos, portanto são coprimos; isso implica que a divisibilidade por um fator primo deve vir inteiramente de um dos dois termos. Conclusão prática: para cada um dos módulos
e
o número
tem de ser congruente a
ou a
(porque se
ou
é múltiplo de
, então
ou
; mesma ideia para
). Assim as opções possíveis são as quatro combinações:
Vou examinar cada caso e achar os valores de
no intervalo
que satisfazem as congruências, e depois verificar se produzem
entre
e
.]
Passo 4
Caso (i):
e
. Pelas congruências simultâneas, isso equivale a
No intervalo dado, os candidatos são
e
. Calculo
pela fórmula
Para
:
que está no intervalo permitido. Então
e o número é
. Verificação rápida:
e
. Para
:
que é maior que
, logo inválido.
Passo 5
Caso (ii):
e
. Escrevo
e imponho
. Para resolver isso, uso o inverso de
módulo
:
, portanto
. Assim
ou seja
. No intervalo
os candidatos são
e
.
- Para
:
então
e o número é
. Verificação:
e
.
- Para
:
que excede
, portanto inválido.
Passo 6
Caso (iii):
e
. Escrevo
e imponho
. Como
, isso dá
, ou
. Logo
ou seja
. No intervalo os candidatos são
e
.
- Para
:
então
e o número é
. Verificação:
e
.
- Para
:
que é maior que
, logo inválido.
Passo 7
Caso (iv):
e
. Isso equivale a
No intervalo
os candidatos seriam
e possivelmente
(fora do intervalo), então só
interessa. Calculo:
mas isso viola
. Portanto não gera solução válida.
Passo 8
Concluímos, após testar todas as possibilidades, que os únicos números de quatro dígitos que satisfazem a propriedade são os encontrados nos passos válidos:
,
e
. Verificações rápidas (já feitas) confirmam que para cada um a soma dos dois blocos ao quadrado retorna o próprio número.