Qual é o número de maneiras de colorir
objetos com 3 cores, se cada cor tem que ser usada pelo menos uma vez?
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse problema juntos. A questão pede para descobrir de quantas maneiras podemos colorir $ n $ objetos usando 3 cores, garantindo que cada cor seja usada pelo menos uma vez. Isso está relacionado ao estudo de combinatória, mais especificamente ao princípio da contagem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular combinações com restrições, ou seja, garantir que todas as cores sejam utilizadas.
Passo 2
Primeiro, pense nas maneras totais de colorir os $ n $ objetos sem nenhuma restrição. Como temos 3 cores disponíveis para cada objeto, e são $ n $ objetos, usamos a regra do produto:
Então, sem restrições, existem $ 3^n $ maneiras de colorir os objetos.
Passo 3
Agora, precisamos subtrair as combinações que não atendem à condição de usar todas as 3 cores. Ou seja, precisamos eliminar as situações onde apenas 1 ou 2 cores são usadas.
Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem de usar apenas 1 cor. Como temos 3 cores disponíveis, existem 3 maneiras de escolher uma única cor e, nessa escolha, todos os $ n $ objetos serão da mesma cor:
Passo 4
Em seguida, calculamos as maneiras de usar apenas 2 cores. Primeiro, escolhemos quais 2 cores serão usadas dentre as 3 disponíveis. Isso pode ser feito de $ \binom{3}{2} = 3 $ maneiras.
Para cada par de cores escolhido, cada objeto pode ser colorido de 2 maneiras (uma das duas cores escolhidas). Assim, para cada par:
Portanto, o total de maneiras de usar apenas 2 cores é:
Passo 5
Agora, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para eliminar as combinações indesejadas (onde nem todas as 3 cores são usadas). Começamos com o total de combinações e subtraímos as que usam apenas 1 cor e apenas 2 cores:
Passo 6
No entanto, ao subtrair as combinações com apenas 2 cores, estamos subtraindo duas vezes aquelas combinações que já foram subtraídas ao considerar apenas 1 cor. Para corrigir isso, precisamos adicionar de volta as combinações que usam todas as 3 cores:
Resposta
O número de maneiras de colorir $ n $ objetos com 3 cores, garantindo que cada cor seja usada pelo menos uma vez, é: