4.9) Com o objetivo de fixar sobre material adsorvente 1 / 3 da quantidade de um corante existente em 2 litros de uma solução aquosa 6 M , foram adicionados 40 g de adsorvente à solução. Posteriormente verificou-se que havia sido empregado adsorvente em demasia. Calcule o volume de água a ser adicionado ao sistema a fim de corrigir o excesso de adsorção e atingir o objetivo inicial. A massa molar do corante é de 60 g.mol { }^{1} e o sistema segue a isoterma:
\mathrm{x}(\mathrm{~g}) / \mathrm{M}(\mathrm{~g})=4 \mathrm{x}\left[\mathrm{C}_{\left(\mathrm{mol} . \mathrm{L}^{-1}\right)}\right]_{0,5}
R: 1,555 \mathrm{~L}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Volume inicial da solução: V_{0}=2\\ \mathrm{L}.
  • Concentração inicial da solução: C_{0}=6\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Massa do adsorvente adicionada: M=40\\ \mathrm{g}.
  • Objetivo: fixar sobre o adsorvente exatamente \tfrac{1}{3} da quantidade total do corante presente inicialmente.
  • Massa molar do corante: M_m=60\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
  • Isoterma fornecida (peguei essa expressão do enunciado):
\frac{x\\ (\mathrm{g})}{M\\ (\mathrm{g})}=4\,[C\\ (\mathrm{mol\cdot L^{-1}})]^{0,5}.
Aqui, x é a massa do corante adsorvida (em g) e C é a concentração em solução no equilíbrio (em \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).
O que se pede: calcular o volume de água a ser adicionado \Delta V para que, no novo equilíbrio, exatamente \tfrac{1}{3} da massa inicial do corante esteja adsorvida.

Passo 2

Calcular a quantidade total de corante inicialmente (moles e massa), a partir de V_{0} e C_{0}.
  • Moles totais iniciais:
n_{\text{tot}}=C_{0}V_{0}=6\cdot 2=12\\ \mathrm{mol}.
  • Massa total inicial do corante:
m_{\text{tot}}=n_{\text{tot}}M_m=12\cdot 60=720\\ \mathrm{g}.

Passo 3

Calcular a massa que deve ficar adsorvida (o objetivo: \tfrac{1}{3} da massa total).
x_{\text{desejada}}=\frac{1}{3}m_{\text{tot}}=\frac{1}{3}\cdot 720=240\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Relacionar a massa adsorvida com a isoterma para obter a concentração de equilíbrio desejada.
Definição útil: a isoterma dá a relação entre a massa adsorvida por massa de adsorbente \dfrac{x}{M} e a concentração em equilíbrio C:
\frac{x}{M}=4\,C^{0,5}.
Substituindo x=x_{\text{desejada}}=240\\ \mathrm{g} e M=40\\ \mathrm{g}:
\frac{240}{40}=4\,C^{0,5}.
Calcular o lado esquerdo:
6=4\,C^{0,5}.
Isolar C^{0,5}:
C^{0,5}=\frac{6}{4}=1,5.
Elevar ao quadrado para obter C:
C=(1,5)^{2}=2,25\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Explicação didática curta: aqui C é a concentração em solução que corresponde, segundo a isoterma, a ter exatamente 240\\ \mathrm{g} adsorvidos sobre os 40\\ \mathrm{g} de adsorbente.

Passo 5

Fazer o balanço de massa do soluto (corante) para relacionar C com o volume final V_{\text{final}}.
  • Moles adsorvidos:
n_{\text{ads}}=\frac{x_{\text{desejada}}}{M_m}=\frac{240}{60}=4\\ \mathrm{mol}.
  • Moles que permanecem em solução:
n_{\text{sol}}=n_{\text{tot}}-n_{\text{ads}}=12-4=8\\ \mathrm{mol}.
A concentração de equilíbrio C é dada por:
C=\frac{n_{\text{sol}}}{V_{\text{final}}}.
Isolando V_{\text{final}}:
V_{\text{final}}=\frac{n_{\text{sol}}}{C}=\frac{8}{2,25}.
Calcular:
V_{\text{final}}=\frac{8}{2,25}\approx 3,555\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Calcular o volume de água a ser adicionado \Delta V:
\Delta V=V_{\text{final}}-V_{0}=3,555-2=1,555\\ \mathrm{L}.

Passo 7

Verificação rápida de consistência (cheque mental): com V_{\text{final}}\approx 3,555\\ \mathrm{L} e 8\\ \mathrm{mol} em solução, a concentração é 8/3,555\approx 2,25\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}, que é justamente a C exigida pela isoterma para x=240\\ \mathrm{g}. Tudo coerente.

Resposta

1,555\\ \mathrm{L}

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