O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida, mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado ioo km a leste do ponto de partida. (a) Que distância o navio deve percorrer e (b) que rumo deve tomar para chegar ao destino?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um navio que quer chegar a um porto a 120 km ao norte do ponto de partida. Mas uma tempestade o desvia para 100 km a leste desse ponto. Queremos descobrir duas coisas: (a) qual a distância que o navio precisa percorrer para chegar ao porto e (b) qual a direção que ele deve seguir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente o teorema de Pitágoras e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um plano cartesiano onde o ponto de partida é a origem. O porto está 120 km para o norte, ou seja, no eixo y, e a posição atual do navio está 100 km para o leste, no eixo x.

Passo 3

Para encontrar a distância que o navio precisa percorrer, podemos pensar nisso como a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são as distâncias ao norte e ao leste. Aqui, usamos o teorema de Pitágoras, que diz:
c = raiza^2 + b^2
Onde c é a hipotenusa, e a e b são os catetos.

Passo 4

Aplicando os valores que temos:
c = raiz100^2 + 120^2 = raiz10000 + 14400 = raiz24400
Calculando isso:
c approx 156.2 km

Passo 5

Agora, para descobrir o rumo que o navio deve tomar, precisamos encontrar o ângulo que essa hipotenusa faz com o leste (ou com o norte, dependendo de como preferir). Vamos calcular o ângulo em relação ao leste usando a função tangente, que é dada por:
tan(theta) = opostoadjacente = distância ao nortedistância ao <=ste = 120100 = 1.2 ââ

Passo 6

Para achar o ângulo theta, usamos a função arco-tangente:
theta = arctan(1.2)
Calculando isso:
theta approx 50.19^circ
Isso significa que o navio deve seguir numa direção de aproximadamente 50,19 graus ao norte do leste.

Resposta

(a) O navio deve percorrer aproximadamente 156,2 km.
(b) Ele deve seguir em um rumo de cerca de 50,19° ao norte do leste para chegar ao destino.

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