Quando um objeto é lançado para cima, ele está sob ação de uma força gravitacional atuando sobre ele. Em uma determinada altura máxima
, sua velocidade é nula e o objeto muda de sentido. Ao retornar ao ponto de onde foi lançado (mão do jogador), o objeto percorre novamente um deslocamento h. Nestes dois trajetos, qual foi a variação de trabalho produzido pela força gravitacional? Esta força é conservativa? Por que?
Passo 1
O enunciado diz: um objeto é lançado para cima, atinge altura máxima
onde a velocidade é nula, e volta ao ponto de lançamento. Nos dois trajetos (subida e descida) devemos responder: qual foi a variação do trabalho produzido pela força gravitacional? A segunda pergunta: essa força é conservativa? Por quê? \n
Informações relevantes dadas: \n
Informações relevantes dadas: \n
- A distância vertical do ponto de lançamento até o ponto mais alto é
. \n - A força gravitacional tem módulo
e aponta para baixo (onde é a massa do objeto e a aceleração da gravidade). \n - O objeto sobe uma vez (deslocamento vertical de magnitude
para cima) e depois desce de volta (deslocamento vertical de magnitude para baixo). \n
Pedidos explícitos: \n
- Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional durante a subida e durante a descida, e a variação total (soma) desses trabalhos. \n
- Dizer se a força gravitacional é conservativa e justificar o porquê.
Passo 2
Definição e fórmula do trabalho que vamos usar. \n
O trabalho de uma força quando um corpo se desloca de
até
é dado por
O trabalho de uma força
Aqui:
é o vetor força,
é o elemento de deslocamento (vetor) ao longo da trajetória, e o produto escalar
mede a componente da força na direção do deslocamento. \n
Explicando o produto escalar de forma simples: se uma força tem componente na mesma direção do deslocamento ela faz trabalho positivo; se tem componente contrária, faz trabalho negativo; se é perpendicular, faz trabalho zero. Matematicamente, para vetores colineares e
temos
.
Explicando o produto escalar de forma simples: se uma força tem componente na mesma direção do deslocamento ela faz trabalho positivo; se tem componente contrária, faz trabalho negativo; se é perpendicular, faz trabalho zero. Matematicamente, para vetores colineares
Passo 3
Escolha de coordenada e expressão da força gravitacional. \n
Tomamos o eixo vertical para cima (padrão comum). \n
A força gravitacional, em forma vetorial, é
Tomamos o eixo vertical
A força gravitacional, em forma vetorial, é
onde
é o versor para cima. Isso significa que a força tem módulo
e aponta para baixo (sinal negativo na direção
). \n
Agora vamos aplicar a fórmula do trabalho em situações simples: quando a força é constante (como aqui) e o deslocamento é retilíneo, o integral reduz-se ao produto escalar simples:
Agora vamos aplicar a fórmula do trabalho em situações simples: quando a força é constante (como aqui) e o deslocamento é retilíneo, o integral reduz-se ao produto escalar simples:
Aqui
é o deslocamento total entre os pontos inicial e final.
Passo 4
Cálculo do trabalho durante a subida (do lançamento até a altura máxima). \n
Na subida o deslocamento é vertical para cima de magnitude , logo
Na subida o deslocamento é vertical para cima de magnitude
Aplicando
:
Interpretação física: o peso realiza trabalho negativo durante a subida porque sua direção (para baixo) é oposta ao deslocamento (para cima). Esse trabalho negativo é a energia cinética que o peso retira do corpo, reduzindo sua velocidade até zerar no topo.
Passo 5
Cálculo do trabalho durante a descida (da altura máxima até o ponto de lançamento). \n
Na descida o deslocamento é vertical para baixo de magnitude , então, tomando
para cima,
Na descida o deslocamento é vertical para baixo de magnitude
Aplicando a mesma fórmula:
Interpretação física: agora a força gravitacional e o deslocamento têm a mesma direção (ambos para baixo), então o peso realiza trabalho positivo, entregando energia cinética ao corpo enquanto ele desce.
Passo 6
Trabalho total nos dois trajetos (subida + descida) e conclusão numérica. \n
Somando os trabalhos:
Somando os trabalhos:
Portanto, o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo do trajeto de ida e volta (percurso fechado que começa e termina no mesmo ponto) é zero. \n
Observação energética: isso também está de acordo com o teorema do trabalho e energia — se não há outras forças dissipativas fazendo trabalho (por exemplo, resistência do ar), a energia cinética no retorno iguala a inicial; a energia fornecida/retirada pela gravidade ao longo do ciclo soma zero.
Observação energética: isso também está de acordo com o teorema do trabalho e energia — se não há outras forças dissipativas fazendo trabalho (por exemplo, resistência do ar), a energia cinética no retorno iguala a inicial; a energia fornecida/retirada pela gravidade ao longo do ciclo soma zero.
Passo 7
Definição de força conservativa e justificativa de que o peso é conservativo. \n
Uma força é chamada de conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos independe do caminho seguido entre esses pontos (depende apenas das posições inicial e final). Uma consequência equivalente: o trabalho realizado por uma força conservativa em um percurso fechado é zero. \n
Para a gravidade temos uma função potencial escalar bem definida — por exemplo, podemos escolher a energia potencial gravitacional
Uma força é chamada de conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos independe do caminho seguido entre esses pontos (depende apenas das posições inicial e final). Uma consequência equivalente: o trabalho realizado por uma força conservativa em um percurso fechado é zero. \n
Para a gravidade temos uma função potencial escalar bem definida — por exemplo, podemos escolher a energia potencial gravitacional
onde
é a altura medida para cima. \n
A relação entre força e potencial é
A relação entre força e potencial é
No nosso caso
, que é exatamente
. \n
Como existe essa função e
entre dois pontos depende apenas da diferença
, concluímos que a força gravitacional é conservativa. \n
No exemplo concreto: o trabalho total em ciclo fechado deu , que é a característica esperada de uma força conservativa.
Como existe essa função
No exemplo concreto: o trabalho total em ciclo fechado deu
Resposta
Sim — a força gravitacional é conservativa, pois o trabalho entre dois pontos depende apenas das alturas inicial e final (existe a energia potencial