Quando um objeto é lançado para cima, ele está sob ação de uma força gravitacional atuando sobre ele. Em uma determinada altura máxima h, sua velocidade é nula e o objeto muda de sentido. Ao retornar ao ponto de onde foi lançado (mão do jogador), o objeto percorre novamente um deslocamento h. Nestes dois trajetos, qual foi a variação de trabalho produzido pela força gravitacional? Esta força é conservativa? Por que?

Passo 1

O enunciado diz: um objeto é lançado para cima, atinge altura máxima h onde a velocidade é nula, e volta ao ponto de lançamento. Nos dois trajetos (subida e descida) devemos responder: qual foi a variação do trabalho produzido pela força gravitacional? A segunda pergunta: essa força é conservativa? Por quê? \n
Informações relevantes dadas: \n
  • A distância vertical do ponto de lançamento até o ponto mais alto é h. \n
  • A força gravitacional tem módulo mg e aponta para baixo (onde m é a massa do objeto e g a aceleração da gravidade). \n
  • O objeto sobe uma vez (deslocamento vertical de magnitude h para cima) e depois desce de volta (deslocamento vertical de magnitude h para baixo). \n
    Pedidos explícitos: \n
  1. Calcular o trabalho realizado pela força gravitacional durante a subida e durante a descida, e a variação total (soma) desses trabalhos. \n
  2. Dizer se a força gravitacional é conservativa e justificar o porquê.

Passo 2

Definição e fórmula do trabalho que vamos usar. \n
O trabalho de uma força \mathbf{F} quando um corpo se desloca de \mathbf{r}_i até \mathbf{r}_f é dado por
W=\int_{\mathbf{r}_i}^{\mathbf{r}_f}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui: \mathbf{F} é o vetor força, d\mathbf{r} é o elemento de deslocamento (vetor) ao longo da trajetória, e o produto escalar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} mede a componente da força na direção do deslocamento. \n
Explicando o produto escalar de forma simples: se uma força tem componente na mesma direção do deslocamento ela faz trabalho positivo; se tem componente contrária, faz trabalho negativo; se é perpendicular, faz trabalho zero. Matematicamente, para vetores colineares \mathbf{a}=a\hat{u} e \mathbf{b}=b\hat{u} temos \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=ab.

Passo 3

Escolha de coordenada e expressão da força gravitacional. \n
Tomamos o eixo vertical y para cima (padrão comum). \n
A força gravitacional, em forma vetorial, é
\mathbf{F}_g = -mg\,\hat{y},
onde \hat{y} é o versor para cima. Isso significa que a força tem módulo mg e aponta para baixo (sinal negativo na direção \hat{y}). \n
Agora vamos aplicar a fórmula do trabalho em situações simples: quando a força é constante (como aqui) e o deslocamento é retilíneo, o integral reduz-se ao produto escalar simples:
W=\mathbf{F}\cdot\Delta\mathbf{r}.
Aqui \Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}_f-\mathbf{r}_i é o deslocamento total entre os pontos inicial e final.

Passo 4

Cálculo do trabalho durante a subida (do lançamento até a altura máxima). \n
Na subida o deslocamento é vertical para cima de magnitude h, logo
\Delta\mathbf{r}_{\text{subida}} = +h\,\hat{y}.
Aplicando W=\mathbf{F}_g\cdot\Delta\mathbf{r}:
W_{\text{subida}} = (-mg\,\hat{y})\cdot(h\,\hat{y}) = -mg\,h.
Interpretação física: o peso realiza trabalho negativo durante a subida porque sua direção (para baixo) é oposta ao deslocamento (para cima). Esse trabalho negativo é a energia cinética que o peso retira do corpo, reduzindo sua velocidade até zerar no topo.

Passo 5

Cálculo do trabalho durante a descida (da altura máxima até o ponto de lançamento). \n
Na descida o deslocamento é vertical para baixo de magnitude h, então, tomando \hat{y} para cima,
\Delta\mathbf{r}_{\text{descida}} = -h\,\hat{y}.
Aplicando a mesma fórmula:
W_{\text{descida}} = (-mg\,\hat{y})\cdot(-h\,\hat{y}) = +mg\,h.
Interpretação física: agora a força gravitacional e o deslocamento têm a mesma direção (ambos para baixo), então o peso realiza trabalho positivo, entregando energia cinética ao corpo enquanto ele desce.

Passo 6

Trabalho total nos dois trajetos (subida + descida) e conclusão numérica. \n
Somando os trabalhos:
W_{\text{total}} = W_{\text{subida}} + W_{\text{descida}} = (-mg\,h) + (mg\,h) = 0.
Portanto, o trabalho total realizado pela força gravitacional ao longo do trajeto de ida e volta (percurso fechado que começa e termina no mesmo ponto) é zero. \n
Observação energética: isso também está de acordo com o teorema do trabalho e energia — se não há outras forças dissipativas fazendo trabalho (por exemplo, resistência do ar), a energia cinética no retorno iguala a inicial; a energia fornecida/retirada pela gravidade ao longo do ciclo soma zero.

Passo 7

Definição de força conservativa e justificativa de que o peso é conservativo. \n
Uma força é chamada de conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos independe do caminho seguido entre esses pontos (depende apenas das posições inicial e final). Uma consequência equivalente: o trabalho realizado por uma força conservativa em um percurso fechado é zero. \n
Para a gravidade temos uma função potencial escalar bem definida — por exemplo, podemos escolher a energia potencial gravitacional
U(y)=mgy,
onde y é a altura medida para cima. \n
A relação entre força e potencial é
\mathbf{F}_g = -\nabla U.
No nosso caso -\nabla U = -\dfrac{d}{dy}(mgy)\,\hat{y} = -mg\,\hat{y}, que é exatamente \mathbf{F}_g. \n
Como existe essa função U(y) e W entre dois pontos depende apenas da diferença U(y_i)-U(y_f), concluímos que a força gravitacional é conservativa. \n
No exemplo concreto: o trabalho total em ciclo fechado deu 0, que é a característica esperada de uma força conservativa.

Resposta

W_{\text{subida}} = -mgh
W_{\text{descida}} = +mgh
W_{\text{total (ida+volta)}} = 0
Sim — a força gravitacional é conservativa, pois o trabalho entre dois pontos depende apenas das alturas inicial e final (existe a energia potencial U(y)=mgy) e o trabalho em um percurso fechado é zero.

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