Um objeto é lançado obliquamente do solo com velocidade de
, e um ângulo de lançamento de
relação a horizontal. Desprezando a resistência do ar determine: O instante em que o objeto atinge a altura máxima. A altura máxima. A velocidade no ponto mais alto. O alcance horizontal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento:
em relação à horizontal. - Desprezar resistência do ar (portanto, movimento sob aceleração gravitacional uniforme).
- Vou assumir a aceleração da gravidade como
para facilitar as contas (se você quiser usar os resultados mudam um pouco).
Perguntas (o que precisamos determinar):
- O instante em que o objeto atinge a altura máxima.
- A altura máxima.
- A velocidade no ponto mais alto.
- O alcance horizontal.
Passo 2
Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em lançamento oblíquo.
- A componente horizontal do vetor velocidade inicial é dada por
. - A componente vertical do vetor velocidade inicial é dada por
.
Precisamos dos valores de
e
. É comum (e útil em prova) usar a aproximação associada ao triângulo 3–4–5:
e
. Usando isso:
Explicação curta:
dá a fração da velocidade apontando para cima;
dá a fração apontando para a frente.
Passo 3
Instante em que atinge a altura máxima.
No ponto mais alto, a componente vertical da velocidade se anula (
). A equação para a componente vertical do movimento (movimento uniformemente acelerado) é
Colocando
e isolando
:
Substituindo
e
:
Interpretação: leva
para a velocidade vertical chegar a zero; esse é o instante do máximo da trajetória.
Passo 4
Altura máxima.
Duas fórmulas úteis (ambas equivalentes); eu vou mostrar as duas porque ajudam a entender e escolher a que é mais prática na prova.
- Usando a posição vertical no tempo
:
Substituindo
,
e
:
- Fórmula direta usando conservação de energia cinética/gravitacional equivalente:
Substituindo
e
:
mesmo resultado. Explicação: essa fórmula vem de
com
.
Passo 5
Velocidade no ponto mais alto.
- A componente vertical no topo é
(por definição do ponto mais alto). - A componente horizontal não muda (não há aceleração horizontal), então
.
Portanto, a velocidade (módulo) no topo é
direção: horizontal (paralela ao solo).
Passo 6
Alcance horizontal (distância horizontal percorrida até o solo).
O tempo total de voo, para lançamento e pouso no mesmo nível, é o dobro do tempo até o topo (simetria do movimento vertical sem resistência do ar):
A componente horizontal da velocidade é constante, então o alcance é
Verificação com fórmula padrão:
. Note que
. Logo
compatível com o cálculo anterior.