Um objeto é lançado obliquamente do solo com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e um ângulo de lançamento de 37^{0} \mathrm{em} relação a horizontal. Desprezando a resistência do ar determine: O instante em que o objeto atinge a altura máxima. A altura máxima. A velocidade no ponto mais alto. O alcance horizontal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas:
  • Velocidade inicial: v_{0}=100\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo de lançamento: \theta=37^\circ em relação à horizontal.
  • Desprezar resistência do ar (portanto, movimento sob aceleração gravitacional uniforme).
  • Vou assumir a aceleração da gravidade como g=10\\ \mathrm{m/s^2} para facilitar as contas (se você quiser usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} os resultados mudam um pouco).
Perguntas (o que precisamos determinar):
  1. O instante em que o objeto atinge a altura máxima.
  2. A altura máxima.
  3. A velocidade no ponto mais alto.
  4. O alcance horizontal.

Passo 2

Primeiro passo técnico: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é padrão em lançamento oblíquo.
  • A componente horizontal do vetor velocidade inicial é dada por \;v_{0x}=v_{0}\cos\theta\;.
  • A componente vertical do vetor velocidade inicial é dada por \;v_{0y}=v_{0}\sin\theta\;.
Precisamos dos valores de \sin37^\circ e \cos37^\circ. É comum (e útil em prova) usar a aproximação associada ao triângulo 3–4–5: \sin37^\circ\approx 0{,}6 e \cos37^\circ\approx 0{,}8. Usando isso:
v_{0x}=100\cdot 0{,}8=80\\ \mathrm{m/s},
v_{0y}=100\cdot 0{,}6=60\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: \sin\theta dá a fração da velocidade apontando para cima; \cos\theta dá a fração apontando para a frente.

Passo 3

Instante em que atinge a altura máxima.
No ponto mais alto, a componente vertical da velocidade se anula ( v_y=0). A equação para a componente vertical do movimento (movimento uniformemente acelerado) é
v_y = v_{0y} - g t.
Colocando v_y=0 e isolando t:
0 = v_{0y} - g t \quad\Rightarrow\quad t = \frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=60\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
t = \frac{60}{10}=6\\ \mathrm{s}.
Interpretação: leva 6\\ \mathrm{s} para a velocidade vertical chegar a zero; esse é o instante do máximo da trajetória.

Passo 4

Altura máxima.
Duas fórmulas úteis (ambas equivalentes); eu vou mostrar as duas porque ajudam a entender e escolher a que é mais prática na prova.
  1. Usando a posição vertical no tempo t:
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^{2}.
Substituindo t=6\\ \mathrm{s}, v_{0y}=60\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
y_{\max}=60\cdot 6 - \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6^{2}=360 - 5\cdot 36=360 - 180=180\\ \mathrm{m}.
  1. Fórmula direta usando conservação de energia cinética/gravitacional equivalente:
y_{\max}=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.
Substituindo v_{0y}=60 e g=10:
y_{\max}=\frac{60^{2}}{2\cdot 10}=\frac{3600}{20}=180\\ \mathrm{m},
mesmo resultado. Explicação: essa fórmula vem de \;v_y^2=v_{0y}^2-2g\Delta y\; com v_y=0.

Passo 5

Velocidade no ponto mais alto.
  • A componente vertical no topo é v_y=0 (por definição do ponto mais alto).
  • A componente horizontal não muda (não há aceleração horizontal), então \;v_x=v_{0x}=80\\ \mathrm{m/s}\;.
Portanto, a velocidade (módulo) no topo é
v_{\text{top}}=80\\ \mathrm{m/s},
direção: horizontal (paralela ao solo).

Passo 6

Alcance horizontal (distância horizontal percorrida até o solo).
O tempo total de voo, para lançamento e pouso no mesmo nível, é o dobro do tempo até o topo (simetria do movimento vertical sem resistência do ar):
T=2t_{\text{top}}=2\cdot 6=12\\ \mathrm{s}.
A componente horizontal da velocidade é constante, então o alcance é
R=v_{0x}\,T=80\cdot 12=960\\ \mathrm{m}.
Verificação com fórmula padrão: \;R=\dfrac{v_{0}^{2}\sin(2\theta)}{g}\;. Note que \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta=2\cdot 0{,}6\cdot 0{,}8=0{,}96. Logo
R=\frac{100^{2}\cdot 0{,}96}{10}= \frac{10000\cdot 0{,}96}{10}=1000\cdot 0{,}96=960\\ \mathrm{m},
compatível com o cálculo anterior.

Resposta

t_{\text{máx}}=6\\ \mathrm{s}á
y_{\text{máx}}=180\\ \mathrm{m}á
v_{\text{no topo}}=80\\ \mathrm{m/s}
R=960\\ \mathrm{m}