Em uma obra de construção civil, uma carga de tijolos é elevada com uso de uma corda que passa com velocidade constante de 13,5 m/s e sem deslizar por duas polias de raios 27 cm e 54 cm. A razão entre a velocidade angular da polia grande e da polia menor é
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um problema de cinemática rotacional envolvendo duas polias com raios diferentes e uma corda que não desliza. A velocidade da corda é de 13,5 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a razão entre a velocidade angular da polia maior e a da polia menor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula super importante que liga a velocidade linear da corda (
) com a velocidade angular da polia (
) e o raio da polia (
). Essa relação é dada por:
Ou seja, a velocidade linear é igual à velocidade angular multiplicada pelo raio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para as duas polias que temos. Vamos chamar a polia menor de Polia 1 e a polia maior de Polia 2.
Para a Polia 1:
Para a Polia 2:
Como a corda não desliza, a velocidade linear
é a mesma para ambas as polias.
Passo 4
Queremos encontrar a razão entre as velocidades angulares, ou seja,
. Vamos rearranjar as equações que montamos:
Para Polia 1:
Para Polia 2:
Passo 5
Agora, vamos dividir a equação da Polia 2 pela da Polia 1 para achar a razão entre as velocidades angulares:
Simplificando, o
cancela:
Passo 6
Agora, é só substituir os valores dos raios. Primeiro, precisamos converter os raios de centímetros para metros:
$ r_1 = 27 cm = 0,27 m $
$ r_2 = 54 cm = 0,54 m $
Então, substituindo:
Resposta
A razão entre a velocidade angular da polia grande e da polia menor é $ \frac{\omega_2}{\omega_1} = 0,5 $.