Um observador em repouso (referencial S) vê um evento ocorrer em x=3 \mathrm{~km}, t=5 \mu \mathrm{~s}. Aplique as transformações de Lorentz para um referencial S’ movendo-se a v=0.6 c na direção x. Calcule as coordenadas x^{\prime} e t^{\prime} no referencial \mathrm{S}^{\prime}. (Use c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)

Passo 1

O enunciado dá um evento observado no referencial S e pede as coordenadas do mesmo evento em S'. Perguntas: calcular x' e t' no referencial S' que se move com v=0{,}6c na direção x. Informações dadas:
x = 3\\ \text{km},\quad t = 5\\ \mu\text{s},\quad v = 0{,}6\,c,\quad c = 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Primeiro vamos transformar todas as grandezas para o sistema SI (metros e segundos), para evitar confusões ao aplicar fórmulas relativísticas:
x = 3\\ \text{km} = 3000\\ \mathrm{m},
t = 5\\ \mu\text{s} = 5\times 10^{-6}\\ \mathrm{s},
v = 0{,}6\,c = 0{,}6\cdot 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s} = 1{,}8\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Mostrei explicitamente as conversões para você replicar na prova.

Passo 3

Agora a fórmula que vamos usar: as transformações de Lorentz (para um impulso ao longo do eixo x) que relacionam as coordenadas (x,t) em S com (x',t') em S' são
x' = \gamma\,(x - v\,t),
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v\,x}{c^{2}}\right),
onde \gamma (fator de Lorentz) é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Explicando o que cada símbolo significa: \,x e \,t são as coordenadas do evento em S; \,x' e \,t' são as coordenadas do mesmo evento em S'; \,v é a velocidade de S' relativa a S (aqui positiva no sentido +x); \,c é a velocidade da luz; e \gamma corrige efeitos relativísticos de tempo e espaço.

Passo 4

Calculemos \gamma. Primeiro \dfrac{v^{2}}{c^{2}} = (0{,}6)^{2} = 0{,}36. Logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}36}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}64}} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25.
Guarde esse valor: é o fator multiplicador em ambas as transformações.

Passo 5

Calcule x' usando x' = \gamma(x - v t). Primeiro o produto v\,t:
v\,t = 1{,}8\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\times 5\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} = 900\\ \mathrm{m}.
Então
x - v\,t = 3000\\ \mathrm{m} - 900\\ \mathrm{m} = 2100\\ \mathrm{m}.
Multiplicando por \gamma:
x' = 1{,}25 \times 2100\\ \mathrm{m} = 2625\\ \mathrm{m}.
Se preferir em quilômetros:
x' = 2625\\ \mathrm{m} = 2{,}625\\ \text{km}.

Passo 6

Calcule t' usando t' = \gamma\!\left(t - \dfrac{v x}{c^{2}}\right). Primeiro o numerador do segundo termo:
v\,x = 1{,}8\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\times 3000\\ \mathrm{m} = 5{,}4\times 10^{11}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
A constante c^{2} é
c^{2} = (3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s})^{2} = 9\times 10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Portanto
\frac{v\,x}{c^{2}} = \frac{5{,}4\times 10^{11}}{9\times 10^{16}}\\ \mathrm{s} = 6{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Agora subtraímos de t:
t - \frac{v\,x}{c^{2}} = 5{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} - 6{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} = -1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Multiplicando por \gamma:
t' = 1{,}25 \times \bigl(-1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}\bigr) = -1{,}25\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Em microssegundos:
t' = -1{,}25\\ \mu\mathrm{s}.
Isso significa que, no referencial S', o evento ocorre 1{,}25\\ \mu\mathrm{s} antes do instante t'=0 (ou seja, a coordenada temporal é negativa em relação à origem escolhida em S'). Não se assuste: ordem temporal pode mudar para eventos separados espacialmente dependendo do referencial.

Resposta

x' = 2625\\ \mathrm{m} = 2{,}625\\ \text{km}\n t' = -1{,}25\times 10^{-6}\\ \mathrm{s} = -1{,}25\\ \mu\mathrm{s}

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