Um observador na Terra verifica que uma régua que se move em relação a ele faz um ângulo de
com a horizontal (eixo
). Se a régua se move na direção vertical (eixo
) com velocidade
, para um observador no referencial da régua o ângulo que ela faz com a horizontal é maior que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma régua que, para um observador na Terra, está se movendo fazendo um ângulo de
com a horizontal (eixo
). Essa régua está se deslocando na direção vertical (eixo
) com uma velocidade de
. A pergunta quer saber por que, para um observador que está na mesma régua (ou seja, no referencial da régua), o ângulo que a régua faz com a horizontal é maior que
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de Teoria da Relatividade de Einstein, especificamente como as velocidades e os ângulos se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo. Vamos usar as transformações de Lorentz para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine que a régua está fazendo
com a horizontal enquanto se move verticalmente com velocidade
. Isso significa que, na Terra, a componente horizontal da velocidade (
) é relacionada com a componente vertical (
) de alguma forma que forma esse ângulo.
Sabemos que o ângulo
que a régua faz com a horizontal está relacionado às componentes das velocidades através da tangente:
Dado que
e
, podemos encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular
usando a relação da tangente:
Sabemos que
, então:
Resolvendo para
:
Então, a componente horizontal da velocidade é
.
Passo 4
Agora precisamos entender como esses componentes de velocidade se transformam no referencial da régua. Na Terra, a régua está se movendo com velocidade
na direção
, então o referencial da régua está se movendo com essa velocidade em relação à Terra.
Para transformar as velocidades para o referencial da régua, usamos as transformações de Lorentz para velocidades. Porém, como a régua está se movendo apenas na direção
, a componente
será afetada pela contração do espaço.
A transformação de Lorentz para a componente
é:
onde
é o fator de Lorentz dado por:
Passo 5
Vamos calcular o fator
com
:
Então,
.
Passo 6
Agora, aplicamos a transformação de Lorentz para
:
Então,
.
Passo 7
Agora, no referencial da régua, a componente horizontal da velocidade é
, enquanto a componente vertical é zero, já que a régua está em seu próprio referencial e não está se movendo verticalmente.
Isso significa que, para o observador na régua, a régua está apenas se esticando horizontalmente devido à contração do espaço, o que faz com que o ângulo com a horizontal aumente.
Passo 8
Para encontrar o novo ângulo
no referencial da régua, usamos novamente a tangente:
Como
no referencial da régua, a régua agora está completamente horizontal, mas devido à contração do espaço, a percepção do ângulo original aumenta. Portanto, o ângulo
percebido na régua é maior que
.
Resposta
Para um observador no referencial da régua, o ângulo que ela faz com a horizontal é maior que
.