Obtenha uma base c consequentemente determine a dimensão de cada um dos subespaços de M(n \times n) abaixo descritos:
Matrizes triangulares inferiores.

Passo 1

O enunciado pede o subespaço L\subset M(n\times n) formado por todas as matrizes triangulares inferiores. Queremos encontrar uma base de L e, a partir dela, calcular \dim(L). O conteúdo envolvido é teoria de espaços vetoriais, subespaços, base e dimensão.

Passo 2

Caracterizamos uma matriz triangular inferior A=(a_{ij})\in L\) pela condição \[a_{ij}=0 \quad\text{sempre que }i<j.
Portanto qualquer A\in L pode ser escrita como combinação linear de matrizes canônicas \,E_{ij} definidas por
(E_{ij})_{kl}= \begin{cases} 1,&\text{se }k=i\text{ e }l=j,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
mas somente nos pares (i,j)\] com \(1\le j\le i\le n.

Passo 3

Proponho a coleção
\mathcal{B}=\bigl\{E_{ij}:1\le j\le i\le n\bigr\}.
Geramento: dado A=(a_{ij})\in L, define-se
A=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_{ij}\,E_{ij},
logo \mathcal{B} gera L. Independência linear: se \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}c_{ij}E_{ij}=0,
então olhando a posição (i,j) vem c_{ij}=0 para todo i,j. Assim \mathcal{B} é linearmente independente.

Passo 4

A base \mathcal{B} contém exatamente todos os pares (i,j) com 1\le j\le i\le n. O número de tais pares é
\sum_{i=1}^{n}i =\frac{n(n+1)}{2}.
Logo \dim(L)=\tfrac{n(n+1)}{2}.

Resposta

Uma base para o espaço das matrizes triangulares inferiores é
\bigl\{E_{ij}:1\le j\le i\le n\bigr\},
e a dimensão desse subespaço é
\frac{n(n+1)}{2}.

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