Obtenha as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são:
A(2,-1), B(5,7), C(-4,-3).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo e pede as coordenadas do baricentro (centro de massa) do triângulo. Informações fornecidas:
  • Vértice A com coordenadas A(2,-1).
  • Vértice B com coordenadas B(5,7).
  • Vértice C com coordenadas C(-4,-3).
O que é pedido: obter as coordenadas do baricentro do triângulo formado por A, B e C.

Passo 2

Fórmula que normalmente se usa (e que vou justificar em seguida): o baricentro G de um triângulo cujos vértices têm coordenadas A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C) tem coordenadas dadas por
G\!\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
Explicando cada símbolo:
  • x_A e y_A são as coordenadas x e y do ponto A.
  • x_B e y_B são as coordenadas de B.
  • x_C e y_C são as coordenadas de C.
    Essa fórmula diz: para encontrar a componente x do baricentro somam-se as três abscissas e divide-se por 3; para a componente y soma-se as três ordenadas e divide-se por 3.

Passo 3

Justificativa rápida da fórmula (intuitiva e simples, útil na prova): o baricentro é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Uma mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. É um fato geométrico (padrão em provas) que cada mediana é dividida pelo baricentro na razão 2:1 contando do vértice até o ponto médio. Usando coordenadas, isso leva diretamente à média aritmética das coordenadas: o ponto médio é média das coordenadas dos extremos, e avançar 2/3 do caminho do vértice até esse ponto médio dá a média das três coordenadas (mostrarei com os números do problema).

Passo 4

Calcular o ponto médio M do lado BC. Vou usar as coordenadas de B e C do enunciado.
A fórmula do ponto médio entre B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C) é
M\!\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right).
Aplicando os valores: x_B=5, y_B=7, x_C=-4, y_C=-3. Logo
M\!\left(\frac{5+(-4)}{2},\frac{7+(-3)}{2}\right)=M\!\left(\frac{1}{2},\frac{4}{2}\right)=M\!\left(\frac{1}{2},2\right).

Passo 5

Usar a propriedade da mediana: o baricentro G fica a \tfrac{2}{3} do caminho desde o vértice A até o ponto médio M. Em coordenadas, isso significa
\vec{AG}=\tfrac{2}{3}\,\vec{AM},
ou, em termos de coordenadas do ponto,
G = A + \tfrac{2}{3}(M-A),
onde a soma e a diferença são feitas componente a componente. Agora calculemos componente a componente (usei A(2,-1) e M\!\left(\tfrac{1}{2},2\right) do passo anterior).
Componente x:
x_G = 2 + \tfrac{2}{3}\!\left(\tfrac{1}{2}-2\right) = 2 + \tfrac{2}{3}\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 2 - \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2} = 2 - 1 = 1.
Componente y:
y_G = -1 + \tfrac{2}{3}\!(2-(-1)) = -1 + \tfrac{2}{3}\cdot 3 = -1 + 2 = 1.

Passo 6

Verificação alternativa rápida usando a fórmula da média aritmética direta (confirmando o resultado):
Somando as abscissas x_A+x_B+x_C:
2 + 5 + (-4) = 3.
Dividindo por 3:
\frac{3}{3}=1.
Somando as ordenadas y_A+y_B+y_C:
-1 + 7 + (-3) = 3.
Dividindo por 3:
\frac{3}{3}=1.
Portanto a média aritmética das coordenadas também dá (1,1), concordando com o resultado anterior.

Resposta

G(1,1)