Obtenha as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são:
.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos três vértices do triângulo e pede as coordenadas do baricentro (centro de massa) do triângulo. Informações fornecidas:
- Vértice
com coordenadas . - Vértice
com coordenadas . - Vértice
com coordenadas .
O que é pedido: obter as coordenadas do baricentro do triângulo formado por
,
e
.
Passo 2
Fórmula que normalmente se usa (e que vou justificar em seguida): o baricentro
de um triângulo cujos vértices têm coordenadas
,
e
tem coordenadas dadas por
Explicando cada símbolo:
-
e são as coordenadas e do ponto . -
e são as coordenadas de . -
e são as coordenadas de .
Essa fórmula diz: para encontrar a componentedo baricentro somam-se as três abscissas e divide-se por ; para a componente soma-se as três ordenadas e divide-se por .
Passo 3
Justificativa rápida da fórmula (intuitiva e simples, útil na prova): o baricentro é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Uma mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. É um fato geométrico (padrão em provas) que cada mediana é dividida pelo baricentro na razão
contando do vértice até o ponto médio. Usando coordenadas, isso leva diretamente à média aritmética das coordenadas: o ponto médio é média das coordenadas dos extremos, e avançar
do caminho do vértice até esse ponto médio dá a média das três coordenadas (mostrarei com os números do problema).
Passo 4
Calcular o ponto médio
do lado
. Vou usar as coordenadas de
e
do enunciado.
A fórmula do ponto médio entre e
é
A fórmula do ponto médio entre
Aplicando os valores:
,
,
,
. Logo
Passo 5
Usar a propriedade da mediana: o baricentro
fica a
do caminho desde o vértice
até o ponto médio
. Em coordenadas, isso significa
ou, em termos de coordenadas do ponto,
onde a soma e a diferença são feitas componente a componente. Agora calculemos componente a componente (usei
e
do passo anterior).
Componente
:
Componente
:
Passo 6
Verificação alternativa rápida usando a fórmula da média aritmética direta (confirmando o resultado):
Somando as abscissas :
Somando as abscissas
Dividindo por
:
Somando as ordenadas
:
Dividindo por
:
Portanto a média aritmética das coordenadas também dá
, concordando com o resultado anterior.