Obtenha a equacão do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano
do ponto
. Que conjunto é este?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes do plano
e do ponto
. Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e planos. Vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e um plano, além da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos representar um ponto qualquer no espaço como
. Nosso objetivo é achar todas as posições de
que satisfazem a condição de estar à mesma distância do plano
e do ponto
.
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto
até o plano
. A fórmula para a distância de um ponto
a um plano da forma
é:
No nosso caso, o plano
é definido por
, que pode ser reescrito como
. Assim,
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até o ponto
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Substituindo
,
Passo 5
Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, montamos a seguinte equação:
Para facilitar, vamos eliminar o valor absoluto e o radical. Como a distância é sempre positiva, podemos quadrar ambos os lados:
Passo 6
Expandindo o lado esquerdo:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por -8:
Resposta
A equação do lugar geométrico é
, que representa um paraboloide circular no espaço tridimensional.