Obtenha a equacão do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano pi: x=2 e do ponto P=(-2,0,0). Que conjunto é este?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação do lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes do plano pi: x=2 e do ponto P=(-2,0,0). Isso envolve conceitos de Geometria Analítica, especialmente sobre distâncias entre pontos e planos. Vamos precisar usar a fórmula de distância entre um ponto e um plano, além da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos representar um ponto qualquer no espaço como M(x, y, z). Nosso objetivo é achar todas as posições de M que satisfazem a condição de estar à mesma distância do plano pi e do ponto P.

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto M(x, y, z) até o plano pi: x=2. A fórmula para a distância de um ponto (x, y, z) a um plano da forma Ax + By + Cz + D = 0 é:
dplano = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, o plano pi é definido por x = 2, que pode ser reescrito como 1 cdot x + 0 cdot y + 0 cdot z - 2 = 0. Assim,
dplano = |x - 2|raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = |x - 2|

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto M(x, y, z) até o ponto P(-2, 0, 0). A fórmula para a distância entre dois pontos M(x, y, z) e P(xp, yp, zp) é:
dponto = raiz(x - xp)^2 + (y - yp)^2 + (z - zp)^2
Substituindo P(-2, 0, 0),
dponto = raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Como queremos que essas duas distâncias sejam iguais, montamos a seguinte equação:
|x - 2| = raiz(x + 2)^2 + y^2 + z^2
Para facilitar, vamos eliminar o valor absoluto e o radical. Como a distância é sempre positiva, podemos quadrar ambos os lados:
(x - 2)^2 = (x + 2)^2 + y^2 + z^2

Passo 6

Expandindo o lado esquerdo:
x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4 + y^2 + z^2
Subtraindo x^2 + 4x + 4 de ambos os lados:
-8x = y^2 + z^2
Dividindo ambos os lados por -8:
x = -y^2 + z^28

Resposta

A equação do lugar geométrico é x = -dfracy^2 + z^28, que representa um paraboloide circular no espaço tridimensional.

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