Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto em que t = t0. 21. r(t) = 2 cos(pi t) i + 2 sen(pi t) j + 3 t k ; t0 = 1/3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico da função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função quando . A função dada é:
Substituindo :
Calculando os valores:
Então:
Portanto, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto . A derivada é calculada componente a componente:
Calculando as derivadas:
Então:
Substituindo :
Sabendo que e :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Agora que temos o ponto e o vetor tangente , podemos montar as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor é:
Onde é o parâmetro.
Substituindo os valores que temos:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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