Obtenha equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que . 21.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico da função vetorial no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais, que nos ajudam a encontrar a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no gráfico da função quando . A função dada é:
Substituindo :
Calculando os valores:
Então:
Portanto, o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial , que nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto . A derivada é calculada componente a componente:
Calculando as derivadas:
Então:
Substituindo :
Sabendo que e :
Então, o vetor tangente é .
Passo 4
Agora que temos o ponto e o vetor tangente , podemos montar as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e tem vetor diretor é: