Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para obter as expansões em meia onda, tanto em seno quanto em cosseno, da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. Precisaremos entender como calcular os coeficientes de Fourier para as expansões em meia onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma expansão em meia onda. Diferente da série de Fourier completa, que considera períodos inteiros, a expansão em meia onda foca em representar a função apenas em um intervalo específico, aqui de
a
. Vamos começar com a expansão em cosseno.
Passo 3
Para a expansão em cosseno, usamos a série de Fourier do tipo:
onde os coeficientes
são dados por:
Vamos calcular
e
para nossa função
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, calculemos
:
Usando integração por partes, onde:
Usando integração por partes, onde:
Aplicando:
Avaliado de 0 a 1:
Sabendo que
e
.
Passo 7
Agora, calculemos
:
Também usando integração por partes duas vezes, ou usando fórmulas de integração para . O resultado após a resolução fica:
Também usando integração por partes duas vezes, ou usando fórmulas de integração para
Passo 8
Voltando ao cálculo de
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Agora, temos todos os coeficientes para a expansão em cosseno. A série fica:
Passo 10
Para a expansão em seno, como a função
é par em relação ao intervalo
, a expansão em seno não é adequada, pois senos representam funções ímpares. Portanto, a expansão em seno será igual a zero:
Resposta
A expansão em meia onda em cosseno da função
no intervalo
é:
Já a expansão em seno é nula: