Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
f(t) = x - x^2, 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para obter as expansões em meia onda, tanto em seno quanto em cosseno, da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. Precisaremos entender como calcular os coeficientes de Fourier para as expansões em meia onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma expansão em meia onda. Diferente da série de Fourier completa, que considera períodos inteiros, a expansão em meia onda foca em representar a função apenas em um intervalo específico, aqui de a . Vamos começar com a expansão em cosseno.

Passo 3

Para a expansão em cosseno, usamos a série de Fourier do tipo:
onde os coeficientes são dados por:
Vamos calcular e para nossa função .

Passo 4

Calculando :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, calculemos :
Usando integração por partes, onde:
Aplicando:
Avaliado de 0 a 1:
Sabendo que e .

Passo 7

Agora, calculemos :
Também usando integração por partes duas vezes, ou usando fórmulas de integração para . O resultado após a resolução fica:

Passo 8

Voltando ao cálculo de :
Isso simplifica para:
éíé

Passo 9

Agora, temos todos os coeficientes para a expansão em cosseno. A série fica:
í

Passo 10

Para a expansão em seno, como a função é par em relação ao intervalo , a expansão em seno não é adequada, pois senos representam funções ímpares. Portanto, a expansão em seno será igual a zero:

Resposta

A expansão em meia onda em cosseno da função no intervalo é:
í
Já a expansão em seno é nula:

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