(a) Obtenha uma expressão para o cálculo da aceleração centrípeta provocada pela rotação da Terra em função da latitude \theta do local. (b) Calcule a aceleração centrípeta nos pólos da Terra e ao longo do equador da Terra. (c) Ache a aceleração centrípeta nas seguintes latitudes: \theta=30^{\circ}, \theta=45^{\circ}, \theta=60^{\circ}. (d) Por qual fator deveria ser multiplicada a velocidade angular de rotação da Terra para que a aceleração centrípeta se tornasse igual a g / 2 no equador da Terra?
Resposta: (a) \omega^{2} R \cos \theta, onde \omega é a velocidade angular de rotação da Terra e R é o raio equatorial da Terra (supondo a Terra uma esfera). (b) Nos pólos: 0; no equador: 0,034 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (c) 0,029 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 0,024 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; 0,017 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para obter a aceleração centrípeta gerada pela rotação da Terra em função da latitude \theta, depois calcular essa aceleração nos polos e no equador, em três latitudes intermediárias e, por fim, descobrir de quantas vezes a velocidade angular da Terra precisaríamos aumentar para que, no equador, a aceleração centrípeta valha g/2. O conteúdo usado será cinemática de movimento circular (aceleração centrípeta).

Passo 2

Para um ponto que gira com velocidade angular \omega num círculo de raio r, a aceleração centrípeta vale
a_c = \omega^2 r.
No caso da Terra, um ponto na latitude \theta descreve um círculo de raio r = R\cos\theta, onde R é o raio da Terra. Assim:
a_c(\theta) = \omega^2 \bigl(R\cos\theta\bigr) = \omega^2 R\cos\theta.

Passo 3

Agora avaliamos em dois casos extremos:
  • Nos polos \theta=90^\circ, \cos90^\circ=0, logo
a_c(90^\circ)=\omega^2 R\cdot0 = 0.
  • No equador \theta=0^\circ, \cos0^\circ=1, logo
a_c(0^\circ)=\omega^2 R.
Usando \omega = \tfrac{2\pi}{86400\,\text{s}}\approx7{,}27\times10^{-5}\,\text{s}^{-1} e R\approx6{,}37\times10^6\,\text{m},
a_c(0^\circ)=(7{,}27\times10^{-5})^2\,(6{,}37\times10^6)\approx0{,}034\;\text{m/s}^2.

Passo 4

Para \theta=30^\circ,45^\circ,60^\circ basta multiplicar a_c(0^\circ) pelos respectivos \cos\theta:
\begin{aligned} a_c(30^\circ)&=0{,}034\cos30^\circ\approx0{,}034\times0{,}866\approx0{,}029\;\text{m/s}^2,\\\ a_c(45^\circ)&=0{,}034\cos45^\circ\approx0{,}034\times0{,}707\approx0{,}024\;\text{m/s}^2,\\\ a_c(60^\circ)&=0{,}034\cos60^\circ\approx0{,}034\times0{,}5\approx0{,}017\;\text{m/s}^2. \end{aligned}

Passo 5

Queremos um fator k tal que, no equador,
(k\omega)^2 R = \frac{g}{2}.
Como \omega^2 R = a_c(0^\circ)\approx0{,}034, temos
k^2 = \frac{g/2}{\omega^2 R} = \frac{4{,}9}{0{,}034}\approx144{,}1,
portanto
k = \sqrt{144{,}1}\approx12{,}0.

Resposta

(a) \displaystyle a_c(\theta)=\omega^2R\cos\theta.
(b) Nos polos: 0. No equador: 0{,}034\;\text{m/s}^2.
(c) Para \theta=30^\circ: 0{,}029\;\text{m/s}^2; \theta=45^\circ: 0{,}024\;\text{m/s}^2; \theta=60^\circ: 0{,}017\;\text{m/s}^2.
(d) Aproximadamente 12{,}0 vezes a velocidade angular atual.

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