Obtenha a expressão para a fugacidade e o coeficiente de fugacidade de uma substância pura utilizando a equação de estado de Peng-Robinson.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a expressão da fugacidade e do coeficiente de fugacidade para uma substância pura usando a equação de estado de Peng-Robinson. Isso está na área de Termodinâmica, mais especificamente em Equações de Estado para gases reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é fugacidade, coeficiente de fugacidade e como a equação de Peng-Robinson funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fugacidade. Fugacidade é uma grandeza termodinâmica que ajusta a pressão real de um gás para um comportamento ideal. Ela nos ajuda a calcular propriedades termodinâmicas reais usando conceitos de comportamento ideal.

Passo 3

O coeficiente de fugacidade, denotado por phi, é a razão entre a fugacidade ( f) e a pressão real ( P) do gás:
phi = fP
Nossa meta é encontrar uma expressão para phi usando a equação de Peng-Robinson.

Passo 4

A equação de Peng-Robinson é uma equação de estado usada para descrever o comportamento de gases reais. Ela é dada por:
P = RTVm - b - a(T)Vm (Vm + b) + b (Vm - b)
Onde:
  • P é a pressão,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura,
  • Vm é o volume molar,
  • a(T) e b são parâmetros específicos da substância.

Passo 5

Para encontrar a fugacidade, usamos a relação termodinâmica que conecta a fugacidade com a pressão e o potencial químico:
ln phi = integral0^P ( Z - 1P' ) dP'
Onde Z é o fator de compressibilidade, definido como Z = P VmRT.

Passo 6

Na equação de Peng-Robinson, o fator de compressibilidade Z pode ser encontrado resolvendo a equação cúbica resultante. Porém, para simplificar, usamos a expressão integrada para ln phi:
ln phi = Z - 1b - ln(Z - B) - A2 raiz2 B ln( Z + (1 + raiz2)BZ + (1 - raiz2)B )
Onde:
  • A = a(T) P(R T)^2
  • B = b PR T

Passo 7

Agora, para obter a expressão do coeficiente de fugacidade phi, basta rearranjar a expressão acima:
phi = exp( Z - 1b - ln(Z - B) - A2 raiz2 B ln( Z + (1 + raiz2)BZ + (1 - raiz2)B ) )

Resposta

A expressão para o coeficiente de fugacidade phi utilizando a equação de estado de Peng-Robinson é:
phi = exp( Z - 1b - ln(Z - B) - A2 raiz2 B ln( Z + (1 + raiz2)BZ + (1 - raiz2)B ) )

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