Obtenha a função de transferência G(s)=Y(s) / R(s) para cada um dos sistemas a seguir representados no espaço de estados: [Seção: 3.6.]
\dot{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -3 & -2 & -5\end{array}\right] \mathbf{x}+\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 10\end{array}\right] r
y=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \mathbf{x}

Passo 1

O enunciado pede para obter a função de transferência G(s)=Y(s)/R(s) do sistema no espaço de estados dado. As informações fornecidas são:
\dot{\mathbf{x}}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]-3 & -2 & -5\end{pmatrix}\mathbf{x} +\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]10\end{pmatrix}r
y=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}\mathbf{x}
Dados relevantes listados:
  • Matriz de estado \displaystyle A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt]0 & 0 & 1\\[4pt]-3 & -2 & -5\end{pmatrix}.
  • Vetor de entrada \displaystyle B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]10\end{pmatrix}.
  • Vetor de saída \displaystyle C=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Não foi dado termo direto D na equação de saída, então assumimos \displaystyle D=0.
  • Objetivo: calcular G(s)=\dfrac{Y(s)}{R(s)}.]

Passo 2

Vamos transformar as equações de estado para o domínio de Laplace (assumindo condições iniciais nulas, que é o caso padrão ao derivar a função de transferência). A transformação de \dot{\mathbf{x}}(t) dá:
s\mathbf{X}(s)=A\mathbf{X}(s)+B\,R(s).
Isolando \mathbf{X}(s) obtemos a relação padrão
\mathbf{X}(s)=(sI-A)^{-1}B\,R(s).
A saída no domínio de Laplace é
Y(s)=C\mathbf{X}(s)+D\,R(s).
Como \displaystyle D=0, substituindo \mathbf{X}(s) temos a fórmula fundamental para a função de transferência:
G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=C\,(sI-A)^{-1}B.
Aqui explico cada símbolo: \displaystyle I é a matriz identidade 3\times3; \displaystyle (sI-A)^{-1} é a inversa da matriz (sI-A); \displaystyle C é a linha de saída e \displaystyle B coluna de entrada — a multiplicação dá uma função racional em s.

Passo 3

Calculemos explicitamente (sI-A). Subtraindo A de sI obtemos:
sI-A= \begin{pmatrix} s & -1 & 0\\[4pt] 0 & s & -1\\[4pt] 3 & 2 & s+5 \end{pmatrix}.
(Observação de cálculo: a entrada (3,1) é 0-(-3)=3, (3,2) é 0-(-2)=2, e (3,3) é s-(-5)=s+5.)]

Passo 4

Precisamos do determinante \det(sI-A), que será o denominador de G(s). Vamos calcular \det(sI-A) expandindo pela primeira linha:
\det(sI-A)= s\cdot\det\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]2 & s+5\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]3 & s+5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Agora calculamos as duas determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt]2 & s+5\end{pmatrix}=s(s+5)-(-1)\cdot 2 = s^2+5s+2,
\det\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]3 & s+5\end{pmatrix}=0\cdot(s+5)-(-1)\cdot 3 = 3.
Substituindo:
\det(sI-A)=s\,(s^2+5s+2)+1\cdot 3 = s^3+5s^2+2s+3.
Portanto o polinômio característico (o denominador da função de transferência) é \displaystyle s^3+5s^2+2s+3.]

Passo 5

Agora calculemos o numerador C\,(sI-A)^{-1}B. Como B tem apenas a terceira componente diferente de zero, podemos escrever B=10\,e_3, onde e_3 é o terceiro vetor canônico. Assim
G(s)=C\,(sI-A)^{-1}B = 10\;C\,(sI-A)^{-1}e_3.
O vetor (sI-A)^{-1}e_3 é simplesmente a terceira coluna da matriz (sI-A)^{-1}. Então C (que é (1\;0\;0)) seleciona a primeira linha dessa coluna — isto é, G(s)=10 vezes o elemento (1,3) da matriz (sI-A)^{-1}. Em símbolos:
G(s)=10\cdot\big[(sI-A)^{-1}\big]_{1,3}.

Passo 6

Para achar \big[(sI-A)^{-1}\big]_{1,3} usamos a relação entre a inversa e a adjunta (adjugada): (sI-A)^{-1}=\dfrac{\operatorname{adj}(sI-A)}{\det(sI-A)}. O elemento (1,3) da inversa é igual ao cofator (3,1) de (sI-A) dividido por \det(sI-A), isto é:
\big[(sI-A)^{-1}\big]_{1,3}=\frac{C_{3,1}}{\det(sI-A)},
onde C_{3,1}=(-1)^{3+1}\det(M_{3,1})=\det(M_{3,1}) e M_{3,1} é a matriz obtida removendo a linha 3 e a coluna 1 de (sI-A). O menor M_{3,1} é
M_{3,1}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] s & -1\end{pmatrix},
portanto
\det(M_{3,1}) = (-1)\cdot(-1) - 0\cdot s = 1.
Logo C_{3,1}=1 e
\big[(sI-A)^{-1}\big]_{1,3}=\frac{1}{s^3+5s^2+2s+3}.]

Passo 7

Substituindo no passo anterior com o fator 10 obtido de B, temos a função de transferência final:
G(s)=10\cdot\frac{1}{s^3+5s^2+2s+3}=\frac{10}{s^3+5s^2+2s+3}.
(Essa é a função G(s)=Y(s)/R(s). Você vê que o numerador ficou simples porque só a terceira entrada de B era não nula e o cofator correspondente era 1. Força aí — esse tipo de cálculo repete várias vezes em provas e é bem mecânico depois de treinar umas vezes.)

Resposta

G(s)=\frac{10}{s^{3}+5s^{2}+2s+3}

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