Obtenha a função de transferência considerando o sistema descrito por:
[l dotx1 dotx2 ]=[cc -4 & -1 3 & -1 ]+[l 1 1 ] u y=[ll 1 & 0 ][l x1 x2 ]
Qual a função de transferência resultante?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema descrito por equações no espaço de estados, com as matrizes , , e definidas. O conteúdo que vamos usar aqui é da área de teoria de controle, especificamente a conversão de uma representação no espaço de estados para uma função de transferência. Para isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e aplicar a fórmula da função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes A = -4 & -1 3 & -1 , B = 1 1 , C = 1 & 0 , , e a partir do enunciado:
Aqui, é a matriz dos coeficientes das variáveis de estado, é a matriz de entrada, e é a matriz de saída.

Passo 3

A função de transferência G(s) = C (sI - A)^-1 B + D pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Como não foi fornecido um termo direto , assumimos que . Então, nossa tarefa é calcular .

Passo 4

Vamos construir a matriz sI - A = s 1 & 0 0 & 1 - -4 & -1 3 & -1 = s + 4 & 1 -3 & s + 1 :
Aqui, é a matriz identidade multiplicada por , e subtraímos a matriz dela.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o inverso da matriz a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a . Para uma matriz 2x2, o inverso é dado por:
(sI - A)^-1 = 1(s + 4)(s + 1) - (1)(-3) s + 1 & -1 3 & s + 4
Aplicando isso à nossa matriz:
(s + 4)(s + 1) - (-3) = s^2 + 5s + 4 + 3 = s^2 + 5s + 7
Calculando o determinante:
(sI - A)^-1 = 1s^2 + 5s + 7 s + 1 & -1 3 & s + 4
Então:

Passo 6

Agora, multiplicamos (sI - A)^-1 B = 1s^2 + 5s + 7 s + 1 & -1 3 & s + 4 1 1 = 1s^2 + 5s + 7 (s + 1)(1) + (-1)(1) 3(1) + (s + 4)(1) = 1s^2 + 5s + 7 s s + 7 pela matriz :

Passo 7

Agora, multiplicamos o resultado pela matriz C (sI - A)^-1 B = 1 & 0 ss^2 + 5s + 7 s + 7s^2 + 5s + 7 = ss^2 + 5s + 7 :

Resposta

A função de transferência resultante é:
G(s) = ss^2 + 5s + 7

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