Obtenha uma representação em espaço de estados para o sistema que possui modelo dado por:
Indique o termo A da matriz estado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema descrito por uma equação diferencial de terceira ordem:
dddoty + 5 ddoty + 2 doty + 3 y = u
O que precisamos fazer é transformar essa equação em uma representação em espaço de estados. Isso faz parte do estudo de sistemas dinâmicos na engenharia, onde a ideia é representar o sistema com matrizes que descrevem como o estado do sistema evolui no tempo. Para isso, vamos precisar definir variáveis de estado e montar a matriz A que representa a dinâmica do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma representação em espaço de estados. Basicamente, ela consiste em um conjunto de equações que descrevem como o estado do sistema muda e como a saída depende desse estado. As equações gerais são:
dotx = A x + B u y = C x + D u
Onde:
x é o vetor de estados.
A é a matriz que descreve como os estados interagem entre si.
B é a matriz que descreve como a entrada u afeta os estados.
C é a matriz que descreve como os estados afetam a saída y.
D é a matriz que descreve como a entrada afeta diretamente a saída.
Passo 3
Como temos uma equação de terceira ordem, vamos precisar de três variáveis de estado. Vamos defini-las assim:
x1 = y x2 = doty x3 = ddoty
Agora, vamos escrever como essas variáveis de estado evoluem no tempo.
Passo 4
Derivando cada variável de estado em relação ao tempo: