Obtenha uma representação em espaço de estados para o sistema que possui modelo dado por:
dddoty+5 ddoty+2 doty+3 y=u
Indique o termo A da matriz estado:
[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -5 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema descrito por uma equação diferencial de terceira ordem:
dddoty + 5 ddoty + 2 doty + 3 y = u
O que precisamos fazer é transformar essa equação em uma representação em espaço de estados. Isso faz parte do estudo de sistemas dinâmicos na engenharia, onde a ideia é representar o sistema com matrizes que descrevem como o estado do sistema evolui no tempo. Para isso, vamos precisar definir variáveis de estado e montar a matriz A que representa a dinâmica do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma representação em espaço de estados. Basicamente, ela consiste em um conjunto de equações que descrevem como o estado do sistema muda e como a saída depende desse estado. As equações gerais são:
dotx = A x + B u y = C x + D u
Onde:
  • x é o vetor de estados.
  • A é a matriz que descreve como os estados interagem entre si.
  • B é a matriz que descreve como a entrada u afeta os estados.
  • C é a matriz que descreve como os estados afetam a saída y.
  • D é a matriz que descreve como a entrada afeta diretamente a saída.

Passo 3

Como temos uma equação de terceira ordem, vamos precisar de três variáveis de estado. Vamos defini-las assim:
x1 = y x2 = doty x3 = ddoty
Agora, vamos escrever como essas variáveis de estado evoluem no tempo.

Passo 4

Derivando cada variável de estado em relação ao tempo:
dotx1 = doty = x2 dotx2 = ddoty = x3 dotx3 = dddoty
Mas precisamos expressar dotx3 em termos das variáveis de estado e da entrada u. Para isso, voltamos à equação original:
dddoty = -5 ddoty - 2 doty - 3 y + u
Substituindo pelas variáveis de estado:
dotx3 = -5 x3 - 2 x2 - 3 x1 + u

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz A que conecta as derivadas das variáveis de estado com os próprios estados. A partir das equações que obtivemos:
dotx1 = 0 cdot x1 + 1 cdot x2 + 0 cdot x3 dotx2 = 0 cdot x1 + 0 cdot x2 + 1 cdot x3 dotx3 = -3 cdot x1 - 2 cdot x2 - 5 cdot x3 + u
Organizando isso em forma matricial:
dotx = [ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -5 ] x + [c 0 0 1 ] u

Resposta

A matriz A da representação em espaço de estados é:
A = [ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -3 & -2 & -5 ]

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