Obtenha as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - A variável de integração é
.
O que se quer: encontrar uma primitiva (função cuja derivada é a integranda) e incluir a constante de integração.
Passo 2
Observação sobre a aparência da integranda (por que isso importa).
- Dentro da raiz aparece a expressão
, e fora temos um fator multiplicando a raiz. Isso sugere que uma substituição que torne numa única variável pode simplificar muito a integral.
Breve explicação do método de substituição (sem jargões): - Se fizermos uma troca
, então . Se a integral original tem um pedaço que é exatamente multiplicando uma função de , podemos reescrever a integral em termos de e integrar mais facilmente. - Fórmula básica usada: se
e , então .
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
.
- Escolhe-se
porque a raiz tem exatamente essa expressão. - Calcula-se a diferencial:
- Isolando
multiplicado por : , portanto
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
.
- A raiz
torna-se . - O fator
torna-se (pegamos isso da relação calculada acima). - Substituindo na integral:
Aqui usei também a regra do fator constante: constantes multiplicativas podem sair da integral.
Passo 5
Integrar usando a regra da potência.
- Lembrete da regra: para
,
- Aplicando com
:
- Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Voltar à variável original
(back-substitution) e escrever a primitiva final.
- Como
, temos
- Portanto uma primitiva é
.
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar).
- Derivando
pelo teorema da cadeia:
que coincide com a integranda. Está correto. Força aí — essa técnica de olhar para uma expressão dentro de uma raiz ou potência e checar se seu derivado aparece multiplicando é um truque que salva tempo na prova.