Obtenha as integrais indefinidas abaixo:
\int 3 y \sqrt{1+y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 3 y \sqrt{1+y^{2}}\,d y.
Informações dadas:
  • A integranda é 3 y \sqrt{1+y^{2}}.
  • A variável de integração é y.
    O que se quer: encontrar uma primitiva (função cuja derivada é a integranda) e incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a aparência da integranda (por que isso importa).
  • Dentro da raiz aparece a expressão 1+y^{2}, e fora temos um fator y multiplicando a raiz. Isso sugere que uma substituição que torne 1+y^{2} numa única variável pode simplificar muito a integral.
    Breve explicação do método de substituição (sem jargões):
  • Se fizermos uma troca u=g(y), então du=g'(y)\,dy. Se a integral original tem um pedaço que é exatamente g'(y)\,dy multiplicando uma função de g(y), podemos reescrever a integral em termos de u e integrar mais facilmente.
  • Fórmula básica usada: se u=g(y) e du=g'(y)\,dy, então \int f(g(y))\,g'(y)\,dy=\int f(u)\,du.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du.
  • Escolhe-se \;u = 1+y^{2}\; porque a raiz tem exatamente essa expressão.
  • Calcula-se a diferencial:
u = 1+y^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dy}=2y.
  • Isolando dy multiplicado por y: du = 2y\,dy, portanto
y\,dy = \frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u.
  • A raiz \sqrt{1+y^{2}} torna-se \sqrt{u}=u^{1/2}.
  • O fator y\,dy torna-se \dfrac{1}{2}\,du (pegamos isso da relação y\,dy=\dfrac{1}{2}du calculada acima).
  • Substituindo na integral:
\int 3 y \sqrt{1+y^{2}}\,dy = \int 3\cdot \sqrt{u}\cdot \left(\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du.
Aqui usei também a regra do fator constante: constantes multiplicativas podem sair da integral.

Passo 5

Integrar usando a regra da potência.
  • Lembrete da regra: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
  • Aplicando com n=\tfrac{1}{2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{2} que estava fora:
\frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du = \frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = u^{3/2} + C.

Passo 6

Voltar à variável original y (back-substitution) e escrever a primitiva final.
  • Como u=1+y^{2}, temos
u^{3/2} = (1+y^{2})^{3/2}.
  • Portanto uma primitiva é (1+y^{2})^{3/2}+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar).
  • Derivando (1+y^{2})^{3/2} pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dy}(1+y^{2})^{3/2} = \frac{3}{2}(1+y^{2})^{1/2}\cdot 2y = 3y\sqrt{1+y^{2}},
que coincide com a integranda. Está correto. Força aí — essa técnica de olhar para uma expressão dentro de uma raiz ou potência e checar se seu derivado aparece multiplicando é um truque que salva tempo na prova.

Resposta

(1+y^{2})^{3/2}+C

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