Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
\int 2 x+\operatorname{sec} ^{2} x \quad d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(2x + \operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de soma de funções, usando a linearidade da integral e antiderivadas básicas.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em
\int\bigl(2x + \operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx = \int 2x\,dx \;+\; \int \operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2x\,dx usamos a regra da potência \int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1):
\int 2x\,dx = 2 \;\frac{x^{2}}{2} = x^2.

Passo 4

Para \displaystyle \int \operatorname{sec}^2 x\,dx lembramos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x, logo
\int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2x + \operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx = x^2 + \tan x + C.

Resposta

x^2 + \tan x + C

Exercícios relacionados