Obtenha o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A=(2,1,0) e B=(10,7,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o lugar geométrico dos pontos que estão equidistantes dos dois pontos dados e . Isso significa que estamos procurando todos os pontos no espaço que têm a mesma distância de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a condição de que o ponto PA = PB está equidistante de e . Isso significa que a distância de a é igual à distância de a :

Passo 3

Agora, vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional. A distância entre PA = raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 e PB = raiz(x - 10)^2 + (y - 7)^2 + (z - 2)^2 é:
De forma similar, a distância entre e é:

Passo 4

Igualando as duas distâncias:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = raiz(x - 10)^2 + (y - 7)^2 + (z - 2)^2
Para eliminar as raízes quadradas, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = (x - 10)^2 + (y - 7)^2 + (z - 2)^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos de ambos os lados da equação:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + z^2 = (x^2 - 20x + 100) + (y^2 - 14y + 49) + (z^2 - 4z + 4)
Simplificando os termos:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 = x^2 - 20x + 100 + y^2 - 14y + 49 + z^2 - 4z + 4

Passo 6

Vamos cancelar os termos semelhantes em ambos os lados da equação:
-4x + 4 - 2y + 1 = -20x + 100 - 14y + 49 - 4z + 4
Simplificando ainda mais:
-4x - 2y + 5 = -20x - 14y - 4z + 153

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com -4x - 2y + 5 + 20x + 14y + 4z = 153 , 16x + 12y + 4z + 5 = 153 e 16x + 12y + 4z = 148 em um lado:
Somando os termos semelhantes:
Subtraindo 5 de ambos os lados:

Passo 8

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 4:
4x + 3y + z = 37

Resposta

O lugar geométrico dos pontos equidistantes de 4x + 3y + z = 37 e é o plano definido pela equação:

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