Obtenha x_{1}(t) e x_{2}(t), a partir da equação de estados e das condições iniciais abaixo.
\dot{\mathbf{x}}(t)=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -3 & -2 \end{array}\right] \mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(0)=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \end{array}\right]
Solução: \left[\begin{array}{l}x_{1}(t) \\\ x_{2}(t)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}e^{-t} \cos (\sqrt{2} t) \\\\ -e^{-t} \cos (\sqrt{2} t)-\sqrt{2} e^{-t} \operatorname{sen}(\sqrt{2} t)\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações de estado
\dot{\mathbf{x}}(t) =\begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -3 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{x}(t), \quad \mathbf{x}(0)=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
onde \mathbf{x}(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t))^{T}. O conteúdo é resolução de sistema linear homogêneo com coeficientes constantes. Para resolver, vamos reduzir a um único EDO de segunda ordem para x_{1}(t) e depois obter x_{2}(t).

Passo 2

Da primeira linha temos x_{2}(t)=\dot x_{1}(t). Da segunda linha,
\dot x_{2}(t)=-3\,x_{1}(t)-2\,x_{2}(t).
Substituindo x_{2}=\dot x_{1} e \dot x_{2}=\ddot x_{1}, obtemos
\ddot x_{1}(t)+2\,\dot x_{1}(t)+3\,x_{1}(t)=0.
É uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

A equação característica é
r^{2}+2r+3=0,
cuja solução é
r=-1\pm i\sqrt{2}.
Logo, a solução geral é
x_{1}(t) =e^{-t}\bigl(A\cos(\sqrt{2}\,t)+B\sin(\sqrt{2}\,t)\bigr).
Usando as condições iniciais x_{1}(0)=1 e \dot x_{1}(0)=x_{2}(0)=-1:
x_{1}(0)=A=1,
\dot x_{1}(t) =e^{-t}\bigl((-A+B\sqrt{2})\cos(\sqrt{2}t)+(-B-A\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}t)\bigr),
portanto em t=0:
\dot x_{1}(0)=-A+B\sqrt{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad -1+B\sqrt{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Assim,
x_{1}(t)=e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t).

Passo 4

Como x_{2}(t)=\dot x_{1}(t), basta derivar:
x_{2}(t) =\frac{d}{dt}\bigl[e^{-t}\cos(\sqrt{2}t)\bigr] =e^{-t}\bigl(-\cos(\sqrt{2}t)-\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)\bigr).

Resposta

x_{1}(t)=e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t), \quad x_{2}(t)=-\,e^{-t}\cos(\sqrt{2}\,t) -\sqrt{2}\,e^{-t}\sin(\sqrt{2}\,t).

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