Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.
dX/dt = k(α - X)(β - X) α e β são constantes e α ≠ βã

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação que modela reações químicas de segunda ordem:
Aqui, e são constantes diferentes. Nosso objetivo é encontrar a solução para em função do tempo . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e separação de variáveis. Vamos precisar integrar ambos os lados da equação para descobrir como varia com .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Isso significa que queremos ter todos os termos com de um lado e os com do outro. Começamos dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Isso nos dá uma forma onde podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da esquerda da equação:
Para integrar essa fração, vamos usar frações parciais. O objetivo é quebrar a fração complicada em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Assumimos que:
Nosso próximo passo é encontrar os valores de e .

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação acima por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores para que simplifiquem a equação. Primeiro, se :
Em seguida, se :

Passo 5

Agora que temos e , podemos escrever a integral original como:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Podemos combinar os logaritmos:

Passo 7

Voltando à nossa equação original, lembrando que:
Substituindo a integral que acabamos de calcular:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde ainda é uma constante.

Passo 9

Eliminamos o logaritmo aplicando a exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Passo 10

Agora, resolvemos para :
Distribuindo :
Reagrupando os termos com :
Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais da reação.

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