Obtenha o volume do sólido obtido pela revolução da região delimitada por:
y=x^{2} e y=2, em torno da reta y=2;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=2, a região no plano xy limitada pela parábola y=x^2 e pela reta y=2.
O conteúdo é o método dos discos (ou anéis): para cada x fixo, a seção perpendicular ao eixo x é um disco de raio igual à distância da reta y=2 até a curva mais “embaixo” da região.

Passo 2

Determinar onde as curvas se cruzam, resolvendo
x^2 = 2
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x = \pm \sqrt{2}.

Passo 3

Em torno de y=2, a distância vertical (raio) entre essa reta e a curva y=x^2 é
R(x) = 2 - x^2.
Não há “furo” no disco (raio interno zero), então a área da seção é
A(x) = \pi\bigl(R(x)\bigr)^2 = \pi\bigl(2 - x^2\bigr)^2.
O volume é
V = \int_{x=-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} A(x)\,dx = \pi \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2)^2 \,dx.

Passo 4

A função (2 - x^2)^2 é par, então
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 - x^2)^2\,dx = 2\int_{0}^{\sqrt{2}} (4 - 4x^2 + x^4)\,dx.
Calculemos
\int (4 - 4x^2 + x^4)\,dx = 4x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5.
Avaliado de 0 a \sqrt{2}
4\sqrt{2} - \frac{4}{3}(2\sqrt{2}) + \frac{1}{5}(4\sqrt{2}) = \sqrt{2}\Bigl(4 - \frac{8}{3} + \frac{4}{5}\Bigr) = \frac{32\sqrt{2}}{15}.
Multiplicando por 2 e depois por \pi,
V = \pi \cdot 2 \cdot \frac{32\sqrt{2}}{15} = \frac{64\sqrt{2}}{15}\,\pi.

Resposta

V = \frac{64\sqrt{2}}{15}\,\pi.

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