Obter as componentes do vetor \vec{v}=(-3,5,4)_{B c}, em que B c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}. Calcule \|\vec{v}\|.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Obter as componentes do vetor \vec{v}=(-3,5,4)_{B c}, em que B c é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
  2. Calcular \|\vec{v}\|, a norma (módulo) desse vetor.
Informações que o enunciado dá:
  • O vetor é apresentado como \vec{v}=(-3,5,4)_{B c}.
  • B c é a base canônica de \mathbb{R}^{3} (isto é, os vetores \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3).

Passo 2

Entendendo o que significa estar em relação à base canônica: a base canônica de \mathbb{R}^{3} é o conjunto
\{\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3\},
onde \vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0) e \vec{e}_3=(0,0,1). Quando um vetor está escrito como (v_1,v_2,v_3)_{B c}, isso quer dizer que
\vec{v}=v_1\vec{e}_1+v_2\vec{e}_2+v_3\vec{e}_3.
Portanto, os números entre parênteses são exatamente as componentes do vetor na base canônica.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso vetor: como \vec{v}=(-3,5,4)_{B c}, temos diretamente as componentes
v_1=-3,\qquad v_2=5,\qquad v_3=4.
Em outras palavras,
\vec{v}=-3\vec{e}_1+5\vec{e}_2+4\vec{e}_3.

Passo 4

Agora vamos calcular a norma (módulo) de \vec{v}. A fórmula para a norma de um vetor \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^{3} é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Explicando essa fórmula de forma simples: ela é a generalização do teorema de Pitágoras para 3 dimensões — somamos os quadrados das componentes e extraímos a raiz quadrada para obter a distância da origem ao ponto representado por \vec{v}.

Passo 5

Substituindo as componentes que encontramos:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-3)^{2}+5^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}.

Passo 6

Simplificando a raiz:
\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida, 5\sqrt{2}\approx 7,071, mas a forma exata 5\sqrt{2} é a melhor resposta.

Resposta

\vec{v}=(-3,5,4)
\|\vec{v}\|=5\sqrt{2}