Obter uma parametrização:
do cone gerado pela semirreta z=\sqrt{3} y, y \geq 0, quando esta gira em torno do eixo z positivo.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do cone obtido quando a semirreta z=\sqrt{3}\,y,\; y\ge 0 gira em torno do eixo z positivo.
Informações dadas:
  • A semirreta é o conjunto de pontos (0,y,z) com y\ge0 e z=\sqrt{3}\,y.
  • A superfície procurada é a figura obtida pela rotação dessa semirreta ao redor do eixo z (ou seja, uma revolução completa em torno do eixo z).

Passo 2

Entendendo geometricamente o que acontece: a semirreta está no plano x=0 (plano yz) saindo do vértice na origem. Ao girá‑la em torno do eixo z, cada ponto da semirreta descreve um círculo de centro no eixo z. O conjunto de todos esses círculos forma um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo z.
Vamos traduzir isso em equação cartesiana primeiro. Para um ponto genérico da semirreta temos x=0, y\ge0 e z=\sqrt{3}\,y. A distância radial ao eixo z para um ponto qualquer no espaço é \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Num ponto da semirreta, como x=0, tem-se \rho=y. Portanto a relação entre z e \rho na semirreta é
z=\sqrt{3}\,\rho.
Ao girar a semirreta, essa relação entre z e a distância radial \rho permanece para todos os pontos do cone: a superfície é dada por
z=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad z\ge0.

Passo 3

Explicando uma maneira prática de parametrizar superfícies de revolução: é muito útil usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas introduzimos dois parâmetros:
  • s que representa a coordenada radial (distância ao eixo z), ou seja s=\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
  • \theta que é o ângulo polar em torno do eixo z, com \theta\in[0,2\pi).
Em coordenadas cilíndricas temos as relações conhecidas
x=s\cos\theta,\qquad y=s\sin\theta.
Como já vimos a relação entre z e s na superfície é z=\sqrt{3}\,s. Portanto podemos escrever diretamente a parametrização usando os parâmetros s e \theta.

Passo 4

Construindo a parametrização: tome s\ge0 e \theta\in[0,2\pi). A parametrização é a aplicação \mathbf{r}(s,\theta) que dá as coordenadas cartesianas de cada ponto:
\mathbf{r}(s,\theta)=\bigl(s\cos\theta,\; s\sin\theta,\; \sqrt{3}\,s\bigr), \qquad s\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi).
Verificações rápidas (para garantir que está correta):
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (plano x=0 com y\ge0) recupera‑se a semirreta original: \mathbf{r}(s,\tfrac{\pi}{2})=(0,s,\sqrt{3}s) com s\ge0.
  • A relação z=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} é satisfeita porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(s\cos\theta)^{2}+(s\sin\theta)^{2}}=s, então z=\sqrt{3}\,s.

Passo 5

Comentário didático final e interpretação física: essa parametrização é a forma típica para um cone circular reto com vértice na origem e semieixo z. O parâmetro s percorre geratrizes do vértice para fora (distância radial), e \theta descreve a rotação em torno do eixo z. A metade do ângulo entre o eixo z e a geratriz do cone (meio‑ângulo do cone) é \alpha tal que \tan\alpha = \dfrac{s}{z}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, logo \alpha=30^\circ (informação extra que ajuda a visualizar o cone).

Resposta

\mathbf{r}(s,\theta)=\bigl(s\cos\theta,\; s\sin\theta,\; \sqrt{3}\,s\bigr),\qquad s\ge0,\\ \theta\in[0,2\pi)