Obter uma parametrização:
do cone gerado pela semirreta
, quando esta gira em torno do eixo
positivo.
do cone gerado pela semirreta
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização do cone obtido quando a semirreta
gira em torno do eixo
positivo.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A semirreta é o conjunto de pontos
com e . - A superfície procurada é a figura obtida pela rotação dessa semirreta ao redor do eixo
(ou seja, uma revolução completa em torno do eixo ).
Passo 2
Entendendo geometricamente o que acontece: a semirreta está no plano
(plano
) saindo do vértice na origem. Ao girá‑la em torno do eixo
, cada ponto da semirreta descreve um círculo de centro no eixo
. O conjunto de todos esses círculos forma um cone circular reto com vértice na origem e eixo ao longo do eixo
.
Vamos traduzir isso em equação cartesiana primeiro. Para um ponto genérico da semirreta temos
,
e
. A distância radial ao eixo
para um ponto qualquer no espaço é
. Num ponto da semirreta, como
, tem-se
. Portanto a relação entre
e
na semirreta é
Ao girar a semirreta, essa relação entre
e a distância radial
permanece para todos os pontos do cone: a superfície é dada por
Passo 3
Explicando uma maneira prática de parametrizar superfícies de revolução: é muito útil usar coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas introduzimos dois parâmetros:
-
que representa a coordenada radial (distância ao eixo ), ou seja , -
que é o ângulo polar em torno do eixo , com .
Em coordenadas cilíndricas temos as relações conhecidas
Como já vimos a relação entre
e
na superfície é
. Portanto podemos escrever diretamente a parametrização usando os parâmetros
e
.
Passo 4
Construindo a parametrização: tome
e
. A parametrização é a aplicação
que dá as coordenadas cartesianas de cada ponto:
Verificações rápidas (para garantir que está correta):
- Para
(plano com ) recupera‑se a semirreta original: com . - A relação
é satisfeita porque , então .
Passo 5
Comentário didático final e interpretação física: essa parametrização é a forma típica para um cone circular reto com vértice na origem e semieixo
. O parâmetro
percorre geratrizes do vértice para fora (distância radial), e
descreve a rotação em torno do eixo
. A metade do ângulo entre o eixo
e a geratriz do cone (meio‑ângulo do cone) é
tal que
, logo
(informação extra que ajuda a visualizar o cone).