Obter uma parametrização:
da parte do cone x^{2}=y^{2}+z^{2} que está entre x=1 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede: obter uma parametrização da parte da superfície dada por x^{2}=y^{2}+z^{2} que está entre x=1 e x=4.
Informações que temos:
  • A superfície é o cone definido por x^{2}=y^{2}+z^{2}.
  • Queremos apenas a porção com 1 \le x \le 4. (Logo estamos tomando a “napa” do cone com x>0.)
  • A superfície é de dimensão 2, então precisamos de duas variáveis parâmetro.

Passo 2

Ideia prática (sem mistério): para cada valor fixo de x a interseção com o plano perpendicular ao eixo x é uma circunferência no plano yz com raio r=\sqrt{y^{2}+z^{2}\,}. Usando coordenadas polares no plano yz (ou “cilíndricas” com eixo x):
Explicando polar no plano yz: qualquer ponto no plano yz pode ser escrito como
y = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância até a origem no plano yz e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo.

Passo 3

Usar a equação do cone para relacionar r e x. Da equação do cone temos
x^{2}=y^{2}+z^{2} = r^{2},
portanto r=|x|. Como a porção pedida tem 1\le x\le 4 (ou seja x>0), temos r=x.
Substituindo r=x nas fórmulas polares obtemos
y = x\cos\theta,\qquad z = x\sin\theta.

Passo 4

Escolhendo parâmetros u e \theta com
u\in[1,4],\qquad \theta\in[0,2\pi),
uma parametrização natural é a aplicação \mathbf{r}(u,\theta) definida por
\mathbf{r}(u,\theta) = \bigl(u,\; u\cos\theta,\; u\sin\theta\bigr).
Verificação rápida: plugando na equação do cone,
u^{2} = (u\cos\theta)^{2} + (u\sin\theta)^{2} = u^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=u^{2},
portanto a parametrização realmente produz pontos do cone. O intervalo 1\le u\le 4 garante que cobrimos a faixa pedida em x.

Passo 5

Checagem de regularidade (útil para a prova): calcule as derivadas parciais
\mathbf{r}_{u}=(1,\cos\theta,\sin\theta),\qquad \mathbf{r}_{\theta}=(0,-u\sin\theta,u\cos\theta).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{\theta}=u\,(1,-\cos\theta,-\sin\theta),
cuja norma é \|\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{\theta}\|=u\sqrt{2}>0 para u\in[1,4]. Logo a parametrização é regular (nenhuma degeneração) na região pedida — bom sinal para usar em integrais de superfície, por exemplo.

Resposta

\mathbf{r}(u,\theta)=\bigl(u,\;u\cos\theta,\;u\sin\theta\bigr),\quad 1\le u\le4,\\ \\\ 0\le\theta<2\pi