Obter uma parametrização:
da parte do cone
que está entre
e
.
da parte do cone
Passo 1
O enunciado pede: obter uma parametrização da parte da superfície dada por
que está entre
e
.
Informações que temos:
- A superfície é o cone definido por
. - Queremos apenas a porção com
. (Logo estamos tomando a “napa” do cone com .) - A superfície é de dimensão 2, então precisamos de duas variáveis parâmetro.
Passo 2
Ideia prática (sem mistério): para cada valor fixo de
a interseção com o plano perpendicular ao eixo
é uma circunferência no plano
com raio
. Usando coordenadas polares no plano
(ou “cilíndricas” com eixo
):
Explicando polar no plano
: qualquer ponto no plano
pode ser escrito como
onde
é a distância até a origem no plano
e
é o ângulo.
Passo 3
Usar a equação do cone para relacionar
e
. Da equação do cone temos
portanto
. Como a porção pedida tem
(ou seja
), temos
.
Substituindo
nas fórmulas polares obtemos
Passo 4
Escolhendo parâmetros
e
com
uma parametrização natural é a aplicação
definida por
Verificação rápida: plugando na equação do cone,
portanto a parametrização realmente produz pontos do cone. O intervalo
garante que cobrimos a faixa pedida em
.
Passo 5
Checagem de regularidade (útil para a prova): calcule as derivadas parciais
O produto vetorial é
cuja norma é
para
. Logo a parametrização é regular (nenhuma degeneração) na região pedida — bom sinal para usar em integrais de superfície, por exemplo.