Obter a solução geral
para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular
, inclusive analisando se há coincidência ou não entre
e
. Verificar a solução obtida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDP linear de primeira ordem
podendo vê-la como uma EDO em
com
tratado como parâmetro. Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois aplicar o método da constante de integração (MCI) para obter uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
Isso é uma EDO em
:
A solução geral dessa EDO é
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular pelo MCI, supondo
Então
e substituindo na EDP temos
Logo
Integramos em
:
Escolhendo
para ter uma particular simples, obtemos
Passo 4
Verificamos se há coincidência entre
e
:
Não há coincidência (um é exponencial em
, o outro é linear), então não precisamos multiplicar o palpite por nenhum fator extra.
Passo 5
A solução geral da EDP é a soma da homogênea com a particular:
onde
é função arbitrária de
.
Passo 6
Para verificar, calculemos
e logo
confirmando que a solução está correta.
Resposta
onde
é uma função arbitrária de
.